Question

正定二次型的定义

Answer 1

正定二次型的定义是：若对任何非零向量x，实二次型，如果对任何x≠0都有（x）>0（显然（0）=0），则称为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。

二次型是指一个关于n个变量的二次多项式，可以表示为Q（x）=x^TAx的形式，其中x=（x1,x2,...,xn）是n维列向量，A是一个n*n的实对称矩阵。如果A的所有特征值都大于0，则称Q（x）是正定二次型。

正定二次型具有以下性质：Q（x）的取值范围为[0,+∞），即Q（x）的值始终为非负数。当x≠0时，Q（x）>0。正定二次型的矩阵A必须是实对称矩阵，且所有特征值均为正。正定二次型的矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式不为0。

判定方法：

1、特征值法：对于一个实对称矩阵A，如果其所有特征值均为正，则A是正定矩阵，对应的二次型Q（x）为正定二次型。

如果所有特征值均为负，则A是负定矩阵，对应的二次型Q（x）为负定二次型。如果存在正负特征值，则A是不定矩阵，对应的二次型Q（x）既不是正定二次型也不是负定二次型。

2、主元法：将二次型Q（x）化为标准形式，即Q（x）=λ1y1^2+λ2y2^2+...+λny^n2，其中λ1,λ2,...,λn为A的特征值，y1,y2,...,yn为x在A的特征向量基下的坐标。

如果λ1,λ2,...,λn均为正数，则Q（x）为正定二次型。如果λ1,λ2,...,λn均为负数，则Q(x)为负定二次型。如果存在正负特征值，则QQ（x）既不是正定二次型也不是负定二次型