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求几何最大最小值口诀

Answer 1

求几何最大最小值口诀

在几何中，求某个量的最大值或最小值是一个常见的问题。这里提供一个简单易记的口诀：四分两平一分三，顺着看来逆着推。

四分

四分指的是将一个图形分成四个相等的部分。在几何中，有许多题目可以使用四分求解最大最小值。以下是一个例子：

已知一个底边为1的等腰三角形和一条与底边平行的直线，将这个三角形沿此直线割成两个部分。这条直线的最短距离是多少？

解：首先，我们将这个三角形四等分。如图所示：

可以看到，通过四等分，我们得到了4个相等的小三角形。这时，我们将两个小三角形旋转45度，得到一个正方形。如图所示：

那么，这个正方形的边长就是等腰三角形的高。我们可以通过勾股定理求出这个高：

$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

因此，这条直线的最短距离就是等腰三角形底边中点到直线的距离，即$\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}$。

两平

两平指的是将一个图形分成两个相等的部分。在几何中，有许多题目可以使用两平求解最大最小值。以下是一个例子：

已知一个边长为1的正方形外接于一个半径为1的圆上，这个正方形的对角线AC与圆心O相交于点D，求线段BD的长度。

解：如图所示，由于正方形对角线上的点D处于圆的直径上，因此BD就是圆周上的线段。我们需要求出BD的长度。

由于正方形对角线上的点D处于圆的直径上，因此$\angle OBD=\angle OCD=45\degree$。

又因为OC是圆的半径，所以$OC=1$，$OD=OC+CD=1+\frac{1}{\sqrt{2}}$。

由于BD是等腰直角三角形的斜边，所以$BD=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

一分三

一分三指的是将一个图形分成三个相等的部分。在几何中，有许多题目可以使用一分三求解最大最小值。以下是一个例子：

如图，点A、B、C在圆内，且$\angle BOC=60\degree$，$\angle AOB=108\degree$，求$\angle ABC$的最大值和最小值。

解：首先，我们将圆一分为三，得到一个等边三角形。如图所示：

显然，$\angle BOA=120\degree$，$\angle BOC=60\degree$，所以$\angle AOC=180\degree-120\degree-60\degree=0$。

因此，可以得到$\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC=\angle ABO+\angle OAC$。

由于$\triangle ABO$是等边三角形，$\angle ABO=60\degree$。又因为$\angle OAC=0$，所以$\angle ABC$的最小值为60度。

接下来，我们来求$\angle ABC$的最大值。如图所示，我们将$\triangle ABO$逐渐缩小，直到三个点都在圆上。

从图中可以看出，当$\triangle ABO$缩小到一定程度时，点C会与A、B重合。此时，$\angle ABC$的最大值等于直角$\angle BOC$，即120度。

顺着看来逆着推

顺着看来逆着推是指在解决最大最小值问题时，要根据题目的具体要求，选择合适的方法求解。以下是一个例子：

如图，ABCD为矩形，AEFG为四边形，AE=FG=1，BC=2，求四边形的最大面积。

解：我们设四边形的另一条边EF为x，则有CE=2-x。因此，四边形面积为：

S(x)=(1+x)(2-x)=$-x^2+x+2$

对S(x)求导数：S'(x)=-2x+1

令S'(x)=0，解得x=$\frac{1}{2}$，此时S(x)取得最大值，最大面积为$S(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$。

顺着看来，我们应该选择求函数的导数，通过求导数的零点来求得函数的极值点和最值。

逆着推，我们可以用作图法来验证得到的结果是否正确。如图所示，我们可以将四边形置于积木搭成的三角锥的顶端，以最小的面积稳定在平面上。可以看到，四边形的最大面积确实是$\frac{3}{2}$。

总之，在几何中，求最大最小值是一个常见的问题。掌握一些简单的口诀和方法，可以更轻松、快捷地解决这些问题。