Question

求FX单调区间f(x)=|x-2|+|2x+1|

Answer 1

要确定函数 f(x) = |x - 2| + |2x + 1| 的单调区间，我们可以按照以下步骤进行分析：
1. 首先，我们要找到函数的定义域。由于绝对值函数的定义域是整个实数集，所以 f(x) 在整个实数集上都有定义。
2. 我们可以根据函数的图像来判断单调性。考虑函数的绝对值部分。当 (x - 2) ≥ 0 时，|x - 2| = (x - 2)；当 (x - 2) < 0 时，|x - 2| = -(x - 2)。同样地，当 (2x + 1) ≥ 0 时，|2x + 1| = (2x + 1)；当 (2x + 1) < 0 时，|2x + 1| = -(2x + 1)。因此，可以得出以下四个区间：
a. 当 x ≥ 2 且 2x + 1 ≥ 0 时，f(x) = (x - 2) + (2x + 1) = 3x - 1。
b. 当 x ≥ 2 且 2x + 1 < 0 时，f(x) = (x - 2) - (2x + 1) = -x - 3。
c. 当 x < 2 且 2x + 1 ≥ 0 时，f(x) = -(x - 2) + (2x + 1) = 3x + 1。
d. 当 x < 2 且 2x + 1 < 0 时，f(x) = -(x - 2) - (2x + 1) = -3x - 1。
3. 对于每个区间，我们可以判断其单调性。由于每个函数在其定义域内都是线性的，所以我们可以确定如下单调性：
a. f(x) = 3x - 1 是递增函数，x ≥ 2 且 2x + 1 ≥ 0。
b. f(x) = -x - 3 是递减函数，x ≥ 2 且 2x + 1 < 0。
c. f(x) = 3x + 1 是递增函数，x < 2 且 2x + 1 ≥ 0。
d. f(x) = -3x - 1 是递减函数，x < 2 且 2x + 1 < 0。
综上所述，函数 f(x) = |x - 2| + |2x + 1| 在以下区间是单调的：
a. x ≥ 2 且 2x + 1 ≥ 0 时，f(x) 为递增函数。
b. x ≥ 2 且 2x + 1 < 0 时，f(x) 为递减函数。
c. x < 2 且 2x + 1 ≥ 0 时，f(x) 为递增函数。
d. x < 2 且 2x + 1 < 0 时，f(x) 为递减函数。