Question

已知点a(2,-1),b(-4,7),求以线段ab为直径的圆的方程

Answer 1

首先求出线段 $AB$ 的中点坐标 $(x_0, y_0)$，其中 $x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$，$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$：

$x_0 = \frac{2 + (-4)}{2} = -1$，$y_0 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$

线段 $AB$ 的长度为 $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{74}$

圆的半径为 $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{74}}{2}$

因此，以线段 $AB$ 为直径的圆的方程为：

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$

代入以上求解得到的 $x_0, y_0, r$，得：

$$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{74}{4}$$

化简得到圆的方程为：

$$x^2 + 2x + y^2 - 6y - 22 = 0$$

因此，以线段 $AB$ 为直径的圆的方程为 $x^2 + 2x + y^2 - 6y - 22 = 0$。