Question

微分方程xy′-x的三次方=y？

Answer 1

xy′ - x^3 = y
x ≠ 0 时， 化为 y′ - y/x = x^2 为一阶线性微分方程， 通解是
y = e^(∫dx/x) [∫x^2 e^(-∫dx/x)dx + C] = x(∫xdx + C) = (1/2)x^3 + Cx.
x = 0 时，y = 0, 上式已包含。

Answer 2

选解这个微分方程的特征方程：
xy' = y
x * dy/dx = y
dy/y = dx/x
两边同时积分：
∫dy/y = ∫dx/x
lny = lnx + C
那么：
y = e^C * x = Y * x
当 Y 也为 x 的函数时，则有：
y' = Y' * x + Y
把这个结果代入原积分方程有：
xy' - x³ = Y' * x² + Y * x - x³ = Y' * x² + y - x³ = y
所以：
Y' * x² - x³ = 0
Y' = dY/dx = x
dY = x * dx
方程两边再同时积分，得到：
∫dY = ∫x * dx
Y = 1/2 * x² + C1
那么：
y = Y * x = 1/2 * x³ + C1 * x