Question

二元函数求极值为极大值的判别

Answer 1

二元函数求极值为极大值的判别

在微积分中，我们经常需要求出一个二元函数的极值。其中，极值分为极大值和极小值。本文将重点讨论如何判断一个二元函数的极值是极大值。

一阶条件

对于一个函数f(x,y)，如果其在点（x0,y0）处取得了极值，那么它在那个点的一阶偏导数为0。也就是说，满足下式：

?f/?x(x0,y0)=0，?f/?y(x0,y0)=0

这就是二元函数求极值的一阶条件。如果一个函数在某个点满足一阶条件，那么它可能是极值点。

二阶条件

但是仅有一阶条件还不足以判定极值是极大值还是极小值。我们需要二阶条件来进一步判断。

对于二元函数f(x,y)，它在点（x0,y0）处的二阶偏导数为：

fxx(x0,y0)，fxy(x0,y0)

fxy(x0,y0)，fyy(x0,y0)

其中，fxx表示f对x求二阶偏导数，fxy表示f对x和y求一阶偏导数。

那么，如果f在点（x0,y0）处取得极值，且

fxx(x0,y0)×fyy(x0,y0)?fxy(x0,y0)2α0，

那么就有一个二阶条件成立，f在这个点的极值是极大值。

举例说明

现在，我们通过一个实例来说明如何用二阶条件判定极值的类型。

考虑函数f(x,y)=x3+y3?3xy+3。首先，我们用一阶条件求出可能的极值点：

?f/?x=3x2?3y=0

?f/?y=3y2?3x=0

解方程得到两个可能的极值点：（1,1）和（?1，?1）。

现在，我们要用二阶条件来判定这两个点上f的极值的类型。我们需要求出f在这两个点处的二阶偏导数。

fxx(x,y)=6x，fxy(x,y)=?3，fyy(x,y)=6y

在点（1,1）处，二阶条件成立的条件为：

fxx(1,1)×fyy(1,1)?fxy(1,1)2α0

6×6?（?3）2=33α0

因此，f在点（1,1）处的极值是极大值。

在点（?1，?1）处，二阶条件成立的条件为：

fxx(?1,?1)×fyy(?1,?1)?fxy(?1,?1)2α0

（?6）×（?6）?（?3）2α0

因此，f在点（?1，?1）处的极值是极小值。

小结

在求解二元函数的极值问题中，我们需要两个步骤：第一步是用一阶条件求出可能的极值点；第二步是用二阶条件判定这些点上函数的极值类型。如果二阶条件成立，则该点上的极值是极大值。否则，该点上的极值就是极小值。