Question

如何理解线性方程组的无穷解？

Answer 1

《线性代数》里规定了线性方程组唯一解、无穷多解、无解的条件。如下：

假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有

1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解；

2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解；

3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。

以上文字或许不太好理解，我们试着从最简单的二元一次方程组开始，去探究为什么会有以上三种情况。

首先列出一个方程：

x+y=2 (1)

满足条件的x、y有无穷多个，

如：(1,1)；(2,0)；(0,2)等。

我们给(1)式加一个方程：

x—y=0 (2)

(1)(2)联立，便可得出唯一解(1,1)

根据以上讨论，我们可以初步判断，要确定含有n个未知数方程组的唯一解，至少得存在n个方程，这也是我们在初一时便学习到的内容。

但在n个未知数、n个方程组的情况下，一定能有唯一解吗？

如果给(1)式联立一个由他本身推导而来的式子，例如：

2x+2y=4 (3)

(1)(3)联立，(1)式乘以2就把(3)式给消了，相当于仍然只有一个式子去求解两个未知数，结果自然就是无穷多个了。

于是，我们发现，若想让n元方程组有唯一解，仅仅有n个方程是不够的，这n个方程还必须得毫不关联。