Question

这道几何题目怎么做？

一个圆柱体的体积（V）不变，要使表面积（S）（上底+下底+侧面积）最小。请问高(h)和底面圆半径（r）的比是多少？ 希望大家能回答的详细点。最好步骤能写出来，详细点，好的再+100分！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

h=V/πr^2

S=2πrh+2πr^2

so
S=2πr^2+2V/r

如果会求导
S’=4πr-2V/r^2 =0

so 4πr=2V/r^2
r = 三次根号下（V/2π)

h=V/πr^2 =2*三次根号下（V/2π)

h:r=2:1

如果不会，就用均值不等式
S=2πr^2+V/r+V/r
>=3*3次根号下（2πr^2*V/r*V/r ）=3*3次根号下（2πV^2）

等号当且仅当
2πr^2=V/r 时成立
此时也解出
r = 三次根号下（V/2π)

h=V/πr^2 =2*三次根号下（V/2π)

h:r=2:1

Answer 2

这个事典型的条件极值的问题，方法很唯一。
用拉格朗日二乘法构造函数，求其每个变量的偏导数，令他们等于零，
从而求的驻点。在驻点就取得最大值。

不过使用初中的重要不等式也可解出来。

设圆柱体底面半径为R，高位h，则
V=πR^2h
现在要求：S=2πR^2+2πRh的最值
使用拉格朗日最小二乘法，构造函数
F(R,h,λ)=2πR^2+2πRh+λ(V-πR^2h)
则
F'R(R,h,λ)=4πR+2πh-λ*2πRh
F'h(R,h,λ)=2πR-λ*πR^2
F'λ(R,h,λ)=(V-πR^2h)
令上面三式均等于0
则有：
2R+h-λRh=0
2-λR=0
V=πR^2h
联立解得：
λR=2，代入第一式，2R=h
即R/h=1/2时，取得最大值。

Answer 3

V=pi*r^2*h

S=2pi*r^2+2pi*r*h
=2pi*r^2+2V/r
=2pi*r^2+V/r+V/r
>=3*3次根号（2pi*r^2*V/r*V/r）=3*3次根号（2pi*V^2）

当2pi*r^2=V/r时，取等号！
r=3次根号（V/2pi），h=3次根号（4V/pi）。
h:r=2:1

高(h)和底面圆半径（r）的比是2:1，表面积（S）最小是3*3次根号（2pi*V^2）。

Answer 4

V＝PI*R^2*h（PI是圆周率）

S＝2PI*R^2+2PI*R*h

两个式子两个未知数，消掉h

得S与R的关系式

S=2PI*R^2+2V/R

你求出这个式子R为什么时S最小就可以了,大概就这样,相信你可以完成下面的步骤

你会求导么,会就很简单就做出来了

Answer 5

V=πhr^2===>h=V/（πr^2).S=2πr^2+2πrh=2πr^2+2V/r=2πr^2+V/r+V/r》3（2πV^2)^(1/3).等号当且仅当2πr^2=V/r=πhr时取得。即当h=2r时，S取得最小值。此时，h:r=2:1.

Answer 6

这不是几何题，主要配方求最值的问题
由V=πr²h得πr²=V/h
S=2πr²+2hπr=2(V/h+2πr)
=2{[√(V/h)-√(2πr)]²+2πrV/h}
当√(V/h)-√(2πr）=0即h:r=V:2πr²时，有最小值