Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足o<x1<x2<1/a
(1)当x∈(0,x1)时，证明：x＜f(x)＜x1
(2)设函数f(x)图像关于直线X=X0对称，证明X0＜X1/2

Answer 1

1)记F(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
F(x)为开口向上的抛物线,又x1,x2为F(x)与x轴的两交点
当x<x1时,F(x)>0,所以f(x)>x
f(x)=[F(x)+x-x1]+x1
=[a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)]+x1
=a(x-x1)(x-x2+1/a)+x1
又x<x1,1/a-x2>0
所以a(x-x1)(x-x2+1/a)<0
从而f(x)<x1
既x＜f(x)＜x1
(2)f(x)=F(x)+x=a(x-x1)(x-x2)+x
=ax^2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2
所以对称轴为x=[(x1+x2)-1/a]/2
所以x0=[(x1+x2)-1/a]/2=[x1+(x2-1/a)]/2<x1/2(因为x2<1/a)