Question

函数已知sina,cosa是关于x的方程x^2-√3ax+a=0

函数已知sinA,cosA是关于x的方程x^2-√3Ax+A=0的两根，A属于（-π，0），求cos2A（希望有过程）

Answer 1

（1）当A属于（-π，0）时，由根的判别式知，原方程确有两相异实根。由韦达定理得：：sina+cosa=√3A,sinacosa=A.[sina+cosa]^2=1+2A=3A^2====>A=-1/3(A=1舍去）。将A=-1/3代入原方程，解得：A1=-(√15+√3)/6，A2=(√15-√3)/6.再由题设可得：sina=-(√15+√3)/6,cosa=(√15-√3)/6.(2)cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=[(√15-√3)^2-(√15+√3)^2]/36=-（√5/3）====>cos2a=-(√5/3)

Answer 2

已知sinA,cosA是关于x的方程x^2-√3Ax+A=0
sinA+cosA=√3a, sinAcosA=a
sinA+cosA=√3sinAcosA
两边平方得
1+2sinAcosA=3(sinAcosA)^2
sinAcosA=-1/3或 sinAcosA=1(舍）
A是第四象限角， A∈[-π/2,0]
2A∈[-π,0]
sin2A=-1/6
故：cos2A=√35/6 或 -√35/6

Answer 3

sina,cosa是关于x的方程x^2-√3ax+a=0
sina+cosa=√3a
(sina+cosa)^2=3a^2
(sina)^2+(cosa)^2+2sina*cosa=3a^2
1+2sina*cosa=3a^2
sina*cosa=（3a^2-1)/2
sina*cosa=a
a=（3a^2-1)/2
2a=（3a^2-1)
（3a^2-2a-1)=0
(3a+1)(a-1)=0
a=-1/3 a=1 A属于（-π，0）a=1舍去
sina*cosa=a
sina*cosa=-1/3
1/2*sina2a=-1/3
sina2a=-2/3
(cos2A)^2=1-(sina2a)^2=1-4/9=5/9
cos2A=√5/3

Answer 4

由已知有：
sinA+cosA=√3A （1）
sinA*cosA=A （2）
将式（1）平方得：
sinA^2+cosA^2+2sinA*cosA=3A*A
1+2sinA*cosA=3A*A （3）
将式（2）代入（3）得
1+2A=3A*A 得A=-1/3(A属于（-π，0）)
sin2A=2sinA*cosA=2A=-2/3
所以cos2A=√(1-sin2A^2)=√(1-4/9)=√5/3

Answer 5

sinA+cosA=√3A
sinAcosA=A
(sinA)^2+(cosA)^2=(sinA+cosA)^2-2sinAcosA=3A^2-2A=1
A=-1/3,1
A属于（-π，0）A=-1/3
sinAcosA=-1/3
sin2A=2sinAcosA=-2/3
A=-1/3 2A=-2/3 在第四象限 cos2A>0
cos2A=√5/3