Question

已知an=n^2,求Sn。高手come on！！！

请给出详细解答过程。不要用先给答案，然后用数学归纳法求证的方法。
谢谢2楼的朋友，不过5楼的朋友的答案真的更好点，我选5楼的，一并谢谢2楼！

Answer 1

先计算数列 an=2^n;
an=2^n 是 等比数列：2,4,8,16,32，。。。，2^n
an=2^n 的 Sn=2^(n+1)-2
则 数列 an=(2^n)-1 的 Sn=2^(n+1)-2-n

an=n/2^n,求Sn
a[n]=n/2^n

这种形式的利用的是错位相减法
S[n]=1/2 + 2/2² + 3/2³ + ...+ (n-1)/2^(n-1)+n/2^n
2S[n]=1 + 2/2 + 3/2² +4/2³. . . + n/2^(n-1)
2S[n]-S[n]=1+(1/2 + 1/2² + 1/2³+1/2^(n-1))-n/2^n【中间是1/2为首项，1/2为公比的等比数列的前n-1项和】
=1+1/2 * (1-1/2^(n-1))/(1-1/2) -n/2^n
=1+1-1/2^(n-1)-n/2^n
=2-(n+2)/2^n

Answer 2

注意到
n（n-1）=[（n+1）n(n-1)-n(n-1)(n-2)]/3

累加后错项相消

得到

∑[n（n-1）]=∑[（n+1）n(n-1)-n(n-1)(n-2)]/3
=[(n+1)n(n-1)-0]/3
=(n+1)n(n-1)/3 (1)

又因为
1+2+。。。+n=n（n+1）/2 (2)

(1)+(2)
就得到
∑n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

∑ 求和 ，你应该看得懂

对于∑n^3，∑n^4，∑n^5 ....
也可以类似做。

还有一种方法就是待定系数法
∑n^k 是k次多项式

Answer 3

2Sn=2(1^2+2^2+3^2+..........+n^2)由(a-b)^2=a^2+b^2+2ab得
=1+n^2+(2-1)^2+2*1*2+(3-2)^2+2*2*3+(4-3)^2+2*3*4+.............+（n-(n-1))^2+2*n*(n-1)
=1+n^2+(n-1)+2(1*2+2*3+3*4+............+(n-1)n)
=n^2+n+2(n-1)*n*(n+1)/3
=(2n+1)(n+1)n/3
所以Sn=(2n+1)(n+1)n/6

Answer 4

1=1
4=1+2+1
9=1+2+3+2+1
16=1+2+3+4+3+2+1
....
n^2=1+2+3+...+n+...3+2+1
相加得到sn=1+2+3+..n+2（n-1）*1+2（n-2）*2+2*(n-3)*3+....2*(n-n)*n
sn=1+2+...+n + 2n(1+2+...n)-2sn
3sn=(2n+1)(1+2+..+n)=n(n+1)(2n+1)/2
sn=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 5

S1=1
S2=5
猜想Sk=k(k+1)(2k+1)/6
则Sk+1=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)(6k+6)/6
=(k+1)(2k^2+k+6k+6)
=(k+1)(k+2)(2k+3)
所以，猜想成立