Question

高二数学导数题

设f(x),g(x)分别是定义域上R的奇函数,偶函数.当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0.且g(3)=0,则不等式f(x)·g(x)<0的解集为( )
A(-3,0)∪(3,+∞) B(-3,0)∪(0,3)
C(-∞,-3)∪(3,+∞) D(-∞,-3)∪(0,3)

要详细过程 好的加分
如果把条件f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0改为f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0
那应选哪个

不是我有举一反三的思想,是第二问拉

不好意思,上面打错了题目,第一问应该是g(-3)=0
而第二问还是g(3)=0

回答出来我加20分 麻烦了

Answer 1

∵f(x),g(x)分别是定义域上R的奇函数,偶函数∴f(x)·g(x)为奇函数。
∵[f(x)·g(x)]’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)且当
x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，
∴(-∞,0)上，f(x)·g(x)递增，由f(x)·g(x)奇偶性，(0,+∞)上递增。

当g(3)=0时，f(x)·g(x)=0，且g(-3)=g(3)=0,
∴(-∞，-3)上，f(x)·g(x)＜0；
(-3，0)上，f(x)·g(x)＞0；
(0，3)上，f(x)·g(x)＜0
(3，+∞)上，f(x)·g(x)＞0.
∴选D.

按你说的去解，必须把所求的不等式也修改。
2、g(x)/f(x)仍是奇函数。
[g(x)/f(x)]’
=[g'(x)f(x)-g(x)f'(x)]/[f(x)^2]
当x＜0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0
∴[g(x)/f(x)]’＜0，
∴(-∞,0)是f(x)/g(x)的递减区间。
由奇偶性，（0，+∞）上也递减。
而g(3)=0,∴g(-3)=0。
(-∞，-3)上，g(x)/f(x)＞0；
(-3，0)上，g(x)/f(x)＜0；
(0，3)上，g(x)/f(x)＞0；
(3，+∞)上，g(x)/f(x)＜0.
∴g(x)/f(x)＜0时，(-3，0)或(3，+∞)。
选A.

Answer 2

当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0.
当x<0时,f(x)g(x)为增函数f(-3)g(-3)=0
f(x)g(x)为奇函数
D(-∞,-3)∪(0,3)