Question

高等数学微分方程的问题

求(x^2)y’+xy=y^2
的通解

Answer 1

这是贝努里方程，可用变量代换化成一阶线性方程，

变形为 y^(-2)y'+1/x y^(-1)=x^(-2)
(y^(-1))'-1/x*y^(-1)=-x^(-2)
用公式得到 y^(-1)=e^(积分1/xdx)(积分-x^(-2)*e^(积分（-1/x)dx)dx+C)
=x(积分-x^(-2)*x^(-1)dx+C)
=x(1/(2x^2)+C)
即通解为：1/y=Cx+1/(2x)

Answer 2

两边同时乘以1/(x^2y^2)
y'/y^2+1/(xy)=1/x^2
令1/y=t.则dt/dx=-1/y^2*dy/dx
可知可化为：
dt/dx-t/x=-1/x^2
一阶非齐次线性方程，利用公式：
t=e^∫（1/x)dx(C+∫e^∫（-1/x)dx*(-1/x^2) dx)
=x(C+1/2x^2)
代入。1/y=t
1/y=Cx+1/(2x)

Answer 3

伯努利方程，n＝2，换元z＝1/y，化为一阶线性方程z'－z/x＝－1/x^2，所以z＝Cx＋1/(2x)，回代z＝1/y，得原方程通解：y＝2x/(1＋2Cx^2)