Question

求被积函数为指数函数与三角函数乘积的定积分

积分区间为[0，正无穷），被积函数为“e^(-bx)乘以cos[w(t-x)”，积分变量是x。
希望详细解答。

Answer 1

用分部积分，利用(cosx)"=-sinx (sinx)'=cosx (e^x)'=e^x得特点，使得右边也出现与所求相同的项，然后移项即可求得

∫e^(-bx)*cos[w(t-x)dx，
=∫cos[w(t-x)]d[(-1/b)*e^(-bx)]
=-(1/b)cos[w(t-x)]e^(-bx)+(1/b)∫e^(-bx)*(-1)sin[w(t-x)]*(-w)dx
=-(1/b)cos[w(t-x)]e^(-bx)+(w/b)∫e^(-bx)sin[w(t-x)]dx
=-(1/b)cos[w(t-x)]e^(-bx)+(w/b)∫sin[w(t-x)]d[(-1/b)*e^(-bx)]
=-(1/b)cos[w(t-x)]e^(-bx)-(w/b^2)e^(-bx)*sin[w(t-x)]+(w/b^2)∫e^(-bx)*(-w)cos[w(t-x)]dx
=-(1/b)cos[w(t-x)]e^(-bx)-(w/b^2)e^(-bx)*sin[w(t-x)]-(w^2/b^2)∫e^(-bx)*cos[w(t-x)]dx
(1+w^2/b^2)*∫e^(-bx)*cos[w(t-x)]dx=-(1/b)cos[w(t-x)]e^(-bx)-(w/b^2)e^(-bx)*sin[w(t-x)]
∫e^(-bx)*cos[w(t-x)]dx={-(1/b)cos[w(t-x)]e^(-bx)-(w/b^2)e^(-bx)*sin[w(t-x)]
}/[1+w^2/b^2]+c
所以积分区间为[0，正无穷），被积函数为“e^(-bx)乘以cos[w(t-x)”的值为
[1/b*coswt+w/b^2*sinwt]/(1+w^2/b^2)

（PS：思路是这样的，只是这些系数太碍眼了，所以难免计算中可能出现设么遗漏，看在我熬夜的份上，阿门）

Answer 2

∫e^(-bx)*{cos[w(t-x)] + i sin[w(t-x)]}dx = ∫e^(-bx+i*w(t-x))dx
这个计算的相信你能搞定了吧
结果的实部就是你那个，虚部是e^(-bx)*sin[w(t-x)]积分的结果。