Question

一道线性代数题

证明：n阶矩阵A=(aij)为正交矩阵的充要条件是：|A|＝±1，且在|A|＝1时，A的每个元素都与它的代数余子式相等，即aij=Aj；在|A|＝-1时，aij＝－Aij

Answer 1

我们知道。对于方阵A,总有：

∑aijAkj＝δik|A|.（∑:求和项为 j＝1,2……，n.以下不再重复注明）。

充分性证明：

①|A|＝1,aij=Aij.上式成为∑aijakj＝δik.A满足行正交条件。A为正交矩阵。

②|A|＝-1,aij=-Aij.还是有∑aijakj＝δik.A满足行正交条件。A为正交矩阵。

必要性证明：A为正交矩阵,有∑aijakj＝δik。且|A|＝±1.

先固定k.让i=1,2.……。n.得到一个非齐次线性方程组，系数矩阵是A.

未知数是ak1,ak2,……，akn.常数列是（0，……，1，0……）′。唯一的

一个1在第k个方程。按克莱木公式：akj＝Aj/|A|.

Aj为A中第j列换为常数列而得的行列式。细看会知道Aj＝Akj.

从而，当|A|＝1时，akj=Akj;|A|=-1时，akj=-Akj.

注意k的任意性。必要性成立。