Question

高三数学题！

5：设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈ 都有f (x1＋x2) = f (x1) • f (x2)．
(1)求 及 ；
(2)证明f (x) 是周期函数；

帮忙解答一下 要过程 谢谢！

Answer 1

因f (x) 是定义在R上的偶函数
故f(x)=f(-x) ①
又f (x) 图像关于直线x = 1对称
故f(1+x)=f(1-x) ②
将②中x用x-1替换得
f(1+x-1)=f(1-x+1)
即f(x)=f(2-x)=f(x-2)
故f (x) 是周期函数
第一问好像条件不足，有多组解

Answer 2

可以由f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),设f(1)=a＞0求出.
f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)^2=a
f(1/2)=a^(1/2)
f(1/2)=f(1/4+1/4)=f(1/4)^2=a^(1/2)
f(1/4)=a^(1/4)

2.画一画图，可以知道周期是2。现在就是要证明f(x)=f(2+x)。
你所知道的条件是f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x)
用x=t-1换掉f(1+x)=f(1-x)中的x，得到f(t)=f(2-t)。由于f(t)=f(-t),故f(-t)=f(2-t)。再用-t=k换掉。得f(k)=f(2+k)。得证。
或者:
偶函数
则 f(x)=f(-x)
图像关于直线x=1对称
则 f(1+x)=f(1-x)
f(x+1)=f(x-1)
令x=x+1
则f(x+2)=f(x)
T=2
f(x)是周期函数