Question

已知抛物线y=a(x-1)^2+m的顶点为P,与x轴的两个交点分别为A、B,且

已知抛物线y=a(x-1)^2+m的顶点为P,与x轴的两个交点分别为A、B,且三角形PAB为直角三角形。
1）设抛物线的对称轴与x轴交与E交与E点，那么PE与AB有何数量关系？请说明其理由
2）若将抛物线向上平移2单位时，抛物线的顶点恰好在x轴上，不解方程求关于x的一元二次方程a(x-1)^2+m=0的根
3）试写出a与m之间的函数关系式，并指明m的取值范围。
1）设抛物线的对称轴与x轴交与E点，那么PE与AB有何数量关系？请说明其理由

本题无图

Answer 1

解：1.猜想：AB=2PE

          理由：点P为抛物线的顶点，点A、B是其与x轴的交点

           ∵△PAB是直角三角形 ∴PA=PB  ∠APB=90°

                   ∵点E是抛物线对称轴与x轴的交点

           ∴在等腰Rt△ABP中 PE是AB上的高 即AB=2PE   

       2.∵ 抛物线向上平移2单位时，抛物线的顶点恰好在x轴上 ∴PE=2

          ∵AB=2PE ∴AB=4  

          ∵x=1是抛物线的对称轴  ∴x1=-1,x2=3

       3. P(1,m)  A(1-|m|,0)  B(1+|m|,0)

          将x=1+|m|,y=0代入

     y=0=a|m|²+m      即 m(am+1)=0

         因为点P在第四象限  所以m＜0

        所以 am+1=0    即 a=-1/m

Answer 2

顶点P(1,m)，E（1，0）
所以PE=|m|
A(x1,0),B(x2,0)
y=a(x-1)^2+m=0
(x-1)^2=-m/a
x=1±√(-m/a)
AB=|x1-x2|=2√(-m/a)
AB=2√(PE/|a|)

向上平移2单位时，抛物线的顶点恰好在x轴上
所以PE=2
AB=2√(2/|a|)
不妨x1>x2
x1-x2=2√(2/|a|)
E是AB中点
x1+x2=2
x1=1+√(2/|a|)
x2=1-√(2/|a|)

PA^2=PB^2=PE^2+AE^2=m^2+(-m/a)
AB^2=8/|a|
PAB是RT
所以2(m^2-m/a)=8/|a|
2m^2-2m/a=8/|a|
因为-m/a在根号内
所以若m<0,则a>0,a=(m+4)/m^2
若m>0,a<0,a=(4-m)/m^2

Answer 3

不对吧？？？
因为三角形为等腰直角三角形，又因为PE垂直AB，所以2PE＝AB，后面以此做