Question

涉及到使用零点定理的一道高数证明题，大家来帮忙看看

设f(x)在[a,b]上连续，f(a)=f(b),证明，存在Xo属于(a,b),使得f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)

Answer 1

设F(x)＝f(x)－f(x+(b-a)/2)，x属于[a,(a+b)/2]

那么
F（a）+F（(a+b)/2)=f(a)-f((a+b)/2）+f((a+b)/2）-f（b）=f(a)-f(b)=0

所以F（a）=F（(a+b)/2 )=0 or 一正一负
1、
F（a）=F（(a+b)/2 )=0
那么取x0=(a+b)/2， 显然有f((a+b)/2)=f((a+b)/2+(b-a)/2)=f（b）

2、一正一负
那么由零点定理，必存在一个x0， x0 在(a,(a+b)/2)中，使得F（x0）=0
也就是f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)

Answer 2

证明：如果f((a+b)/2)=f(a)=f(b),则x0=(a+b)/2为所求，否则构造函数
g(x)=f(x)-f(x+(a+b)/2),则g(x)在【a,(a+b)/2】上连续，并且有g(a)=-g((a+b)/2);而g(a)不等0，从而由零点定理知存在Xo属于(a,b),使得g(x0)=0即f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)

Answer 3

设F(x)＝f(x)－f(x+(b-a)/2)，x∈[a,(a+b)/2]
F(a)＝f(a)－f((a+b)/2)
F((a+b)/2)＝f((a+b)/2)－f(b)＝f((a+b)/2)－f(a)

若F(a)＝0，即f(a)＝f((a+b)/2)，取x0＝a即满足结论

若F((a+b)/2)＝0，，即f(b)＝f((a+b)/2)，取x0＝(a+b)/2即满足结论

若F(a)≠0，F((a+b)/2)≠0，则F(a)×F((a+b)/2)＜0，由零点定理，存在x0∈(a,(a+b)/2)，使得F(x0)＝0，即f(x0)＝f(x0+(b-a)/2)

综上，一定存在x0∈(a,b)，使得f(x0)＝f(x0+(b-a)/2)

Answer 4

令：g(x)=f(x+(b-a)/2)-f(x)

g(a)=f(a+(b-a)/2)-f(a)=f((a+b)/2)-f(a)

g((a+b)/2)=f((a+b)/2+(b-a)/2)-f((a+b)/2)=f(b)-f((a+b)/2)

f(a)=f(b)
g(a)=-g((a+b)/2)

所以：存在X0属于(a,(a+b)/2), 使g(X0)=0
即：f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)-f(Xo)=0，
f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)。
得证。

Answer 5

f(x)在[a,b]上连续，f(a)=f(b)
则存在X0属于(a,b),f'(X0)=0
f(Xo)-f(Xo+(b-a)/2)/(X0-(X0+(b-a)/2)=0
f(Xo)-f(Xo+(b-a)/2)=0