Question

求数列极限，求高手给出详细步骤和思路！谢谢

Answer 1

思路还是比较明朗的，典型的1的无穷大次不定式极限，可以取对数，也可以用

(f(x))^g(x)=[1+f(x)-1]^((1/(f(x)-1))*(f(x)-1)g(x))=e^[(f(x)-1)g(x)]（f(x)趋近于1，g（x）趋近于无穷大）做

PS：楼上那个肯定做错了。。。

Answer 2

1^∞的公式
假设limf(x)^g(x)是1^∞型的，且lim(f(x)-1)g(x)=A,那么原极限就是e^A
那么化为lim(n-->∞)n[1+2^1/n+...(2013)^1/n/2013-1]=lim(n-->∞)n[1-1+2^1/n-1+....(2013)^1/n-1/2013]
在用无穷小替换a^x-1~xlna 所以 k^(1/n)-1~lnk/n
上式就化为lim(n-->∞)n(ln2+ln3+...ln2013/2013n)=ln2013!/2013
那么原极限就是e^(ln2013!/2013)=(2013!)^(1/2013)

Answer 3

设1+n√2+n√3+.....+n√2013=A
lim(A/2013)^n=e^(nlim(A/2013)^n)
就是要求e的指数的极限值
lim nlim(A/2013)^n=lim lim(A/2013)^n/(1/n)
做变换，令t=1/n,
上极限就是 lim (t->0) （ln (1+2^t+3^t+......+2013^t)/2013）/t
然后用罗比达法则对t求导
lim 2013/(1+2^t+3^t+.....+2013^t)*(2^tln2+3^tln3+.....2013^tln2013)/2013
然后把0带入，结果是 ln(2013!)/2013
自己算一算

Answer 4

lim(n-> ∞) [( 1+ 2^(1/n)+ 3^(1/n) +....+(2013)^(1/n) )/ 2013]^n
=lim(n->∞) 1^n
=1

Answer 5