Question

高中数学均值不等式16题求解

Answer 1

原不等式即(2m-n)x+2n-8≥0

这是关于x的一次或(0次）不等式

函数f（x)=(2m-n)x+2n-8，x∈[-4,2]图像为线段，

若f(x)≥0恒成立，只需线段的端点均在x轴上方（可在x轴上）

即{f(-4)=-4(2m-n)+2n-8≥0

    {f(2)=2(2m-n)+2n-8≥0

==>

 {4m-3n+4≤0

 { m≥2

 {n≤6

动点M（m,n)的可行域为三角形ABC内部(含边界）

A(2,4),B(2,6),C(7/2,6)

OM的斜率 n/m的范围是[7/12,3]

分式：

(m^4-n^4)/(m^3n)=m/n-(n/m)^3

令n/m=t∈[7/12,3]

原式s=1/t-t^3

求导s'=-1/t^2-3t^2<0

∴s=1/t-t^3为减函数

∴t=3时s取得最小值1/3-27=-80/3

Answer 2

看上去有个m和n有点烦，但是换一个角度想，2xm+(2-x)n-8是条直线，直线在[-4,2]恒大于等于0，也就是两个端点处都大于等于0。
当x=2,4m-8>=0，推出m>=2
当x=-4，-8m+6n-8>=0，推出3n>=4m+4>=12，n>=4，由此可见m，n都大于0
(m^4-n^4)/(m^3 *n)=m/n-n^3/m^3，要让这个式子取最小值，只能是m尽量小，n尽量大。
那就取m=2，n=6（并且x的方程也满足题意）
最小值为1/3-27= -80/3