Question

高中数学

已知函数f(x)=x2（平方）+2x的图像在点A(x1,f(x1))与点B(x2,f(x2))(x1<x2<0)处的切线相互垂直，则x2-x1的最小值为?答案是1，求过程

Answer 1

求导，由题意得(2x1+2）（2 x2+2）=-1则x2-x1=(x2+1)-(x1+1)=(x2+1)+1/4(x2+1)
基本不等式 大于等于1，等号在x2+1=1/2时取到

Answer 2

f(x)=x²+2x
f'(x)=2x+2
f'(x1)*f'(x2)=-1
(2x1+2)(2x2+2)=-1
4(x1+1)(x2+1)=-1
x1x2+x1+x2+1=-1/4
x1x2+x1+x2=-5/4
x1+x2=-5/4-x1x2
(x1+x2)²=(-5/4-x1x2)²
=25/16+5/2x1x2+(x1x2)²
(x2-x1)²=(x1+x2)²-4x1x2
=25/16+5/2x1x2+(x1x2)²-4x1x2
=(x1x2)²-3/2x1x2+25/16
=(x1x2-3/4)²+1
当x1x2=3/4时，(x2-x1)²取得最小值1，即x2-x1取得最小值1。