Question

已知幂函数f(x)=x^(m^2-2m-3)(m∈Z)为偶函数且在区间（0，+∞）上增函数，。（看补充）急急急急急急

若g（x）=㏒a为底【f（x）-ax】（a>0，且a不等于1），是否存在实数a使g（x）在区间【2.3】的最大值为2，若存在，求出a的值 若不存在请说明理由

Answer 1

不知道有没有做错 毕竟算的很烦····
幂函数f(x)=x^(m^2-2m-3)(m∈Z)为偶函数
令m^2-2m-3=2k k为整数 ;
在区间（0，+∞）上增函数
f'(x)=2k*x^(2k-1)≥0 得k≥0
k=0时 f(x)=1 g(x)=loga(1-ax) 要使函数式在[2,3]上有意义 得0<a<1
g'(x)=a/(ax-1) 对应点为x=1/a (0,1/a)为增
若1/a<2 ==>a>1/2 得g(x)max=g(2) 使其=2 求根公式 求得a=√2-1 <1/2不符合题意
若2<1/a<3 则g(x)没最大值
若1/a>3 ==>a>1/3 得 最大值为g(3) 使其=2 a=（-3+√13）/2 <1/3 不符合题意 舍去
k>0时
g(x)=loga(x^2k-ax)
g'(x)=[2k*x^(2k)-ax]/[x(fx-ax)]
令g‘(x)=0 ，
得到3个点 分别0，(a/2k)^(1/(2k-1)),a^(1/(2k-1))
0<a<1 0<a^(1/(2k-1)) <(a/2k)^(1/(2k-1))<1 即g(x)max=g(2)=loga(4^k-2a)
假设=2 即a^2=4^k-2a 求根公式得a=-1+√(1+4^k) ∵k∈N+ 得a的最小值为√5-1>1假设不成立
a>1
由穿针引线知 在x>0上 有(0,(a/2k)^(1/(2k-1))]为增，[(a/2k)^(1/(2k-1)),a^(1/(2k-1))]为减
[a^(1/(2k-1))，﹢无穷]为增
若(a/2k)^(1/(2k-1))<2时a<k*2^2k g(x)max=g(2) 令其=2 解得a=√(4^k+1) 2^k +1>√(4^k+1)>2^k
显然有 2^k+1<k*2^2k 即a=√(4^k+1) k∈N+
当2<(a/2k)^(1/(2k-1))<3 时 k*2^2k <a<(3^2k )*2k/3 g(x)max=g[(a/2k)^(1/(2k-1))] 使其=2
解得a=(1/2k)^[1/(2k-2)] *(1/2k-1)^[(2k-1)/(2k-2)] 的 a<1 舍去
当(a/2k)^(1/(2k-1))>3时 a>(3^2k )*2k/3 g(x)max=g(3) 使其=2 得a=3/2(-1+√（1+4*9^(k-1))
3^k>a ∵a>(3^2k )*2k/3>3^k 即不符合题意 舍去
综合上述得
a=√(4^k+1) k为正整数