Question

x趋近-1时(x^3+ax+b)/(2x^3+3x^2-1)=c 求常数a,b,c

Answer 1

因为分母：2x^3+3x^2-1=2x^3+2x^2+x^2-1=x^2(x+1)+(x+1)(x-1)=(x+1)(x+1)(2x-1)
所以分子：x^3+ax+b必被(x+1)(x+1)整除，
即：x^3+ax+b=(x+1)(x+1)(mx+n)=mx^3+(2m+n)x^2+(m+2n)x+n
比较两边得：m=1，n=b, m+2n=a, 2m+n=0
所以：b=n=-2，a=m+2n=-3
(x^3+ax+b)/(2x^3+3x^2-1)=(x^3-3x-2)/(2x^3+3x^2-1)
=(x+1)(x+1)(x-2)/(x+1)(x+1)(2x-1)=(x-2)/(2x-1)
x趋近-1时,c=(x-2)/(2x-1)=(-1-2)/[2*(-1)-1]=1
c=1

Answer 2

x^3+ax+b=c(2x^3+3x^2-1)
两边求导
3x^2+a=6cx^2+6x
6x=12cx+6
6=12c
c=1/2
(x^3+ax+b)/(2x^3+3x^2-1)=1/2
(x^2+a+b/x)/(2x^2+3x-1/x)=1/2
令 x+1=t
(t^2+2t+1+a+b/(t+1))/(2t^2+5t+2-1/(t+1))=1/2
(t^2+2t+1+a+b/(t+1))/(2t^2+5t+2-1/(t+1))=1/2
比较：b=-1/2
1+a=1, a=0

追问

是分式的极限等于c 怎么做呢

追答

设 x=1+t
应用罗比塔法则：上下求导