Question

已知函数f(x)=-x2+3x|x-a|,a＞0 ①当a=2求f(x)递减区间 ②若f(x在区间(

已知函数f(x)=-x2+3x|x-a|,a＞0
①当a=2求f(x)递减区间
②若f(x在区间(-1，6))上有最大值也有最小值，求a取值范围

Answer 1

1)a=2,f(x)=-x²+3x|x-2|
当x>=2时，f(x)=-x²+3x(x-2)=2x²-6x=2(x-3/2)²-9/2, 当x>=2时，f(x)单调增；
当x<2时，f(x)=-x²+3x(2-x)=-4x²+6x=-4(x-3/4)²+9/4, 单调减区间为3/4<x<2.
因此f(x)的单调减区间为(3/4,2)

2)在开区间内有最大值及最小值，则必为极值点，而f(x)由两段抛物线组成，极值点只能在抛物线顶点（有导数）或两抛物线的分界点（无导数）取得。
当x>a时，f(x)=2x²-3ax=2(x-3a/4)²-9a²/8, 极小值点x=3a/4,它不在x>a的区间，因此这不可能是最值；
当x<a时，f(x)=-4x²+3ax=-4(x-3a/8)²+9a²/16,极大值点x=3a/8，它在x<a的区间，因此这是最大值，f(3a/8)=9a²/16为最大值
分界点x=a时，f(a)=-a²，这只能为最小值,因此须有-1<a<6
比较端点值：f(-1)=-1-3|a+1|=-1-3(a+1)=-3a-4
f(6)=-36+18|6-a|=-36+18(6-a)=72-18a
因此须有：
-a²=<-3a-4<=9a²/16
-a²=<72-18a<=9a²/16
第1式化为：
a²-3a-4>=0, 即(a-4)(a+1)>=0, 得a>=4
9a²/16+3a+4>=0,即(3a/4+2)²>=0
故4=<a<6
第2式化为：
a²-18a+72>=0, 即(a-6)(a-12)>=0,得a<=6
9a²/16+18a-72>=0, 即a²+32a-128>=0,得 a>=-16+8√6
故-16+8√6=<a<6

综合得a的取值范围是： [4,6)

Answer 2

阿斯滚滚滚滚滚