Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，求AE的长

Answer 1

已知  BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBE。

在△DBE和△CBE中，∠DBE=∠CBE（已证），∠BDE=∠BCE=90°（已知），BE=BE，

∴△DBE≌△CBE(角、边、角)，∴BC=BD，ED=EC。

在△DBE和△DAE中，∠BDE=∠ACE=90°（已知），BE=BE，DA=DB，

∴△DBE≌△DAE(边、角、边)，∴BE=AE，BD=AD，∠DBE=∠DAE。

∴BD=AD=BC；BC=BD；∠DBE=∠DAE=∠CBE。

∵∠DBE+∠DAE+∠CBE=90°，∠DBE=∠DAE=∠CBE，∴∠DBE=∠DAE=∠CBE=30°。

△DBE≌△CBE≌△DAE。

AC=9，AC=AE+EC=9.

在△CBE中，∠CBE=30°，∴sin30°=EC/BE=EC/(9-EC)=1/2，2BE=9-BE，BE=3.

∴AE=9-EC=9-3=6.

追问

倒数第二行，不懂，什么意思！

追答

没学过三角函数吗？
用勾股定理：
在△EBC中，BC²=BE²-EC²，即BC²=(9-EC)²-EC²=81-18EC.
在△ABC中，BC²=AB²-AC²，即BC²=(2BC)²-81=4BC²-81，BC²=27.
∴27=81-18EC，EC=54/18=3，AE=9-EC=6.

Answer 2

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，因为BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，所以 △BCE≡△BDE，所以BC=BD ,CE=DE. 。 .因为D是AB的中点，所以AB=AD+BD=2BD=2BC，即BC/AB=1/2.。由于△AED∽△ABC，所以DE/AE=BC/AB=1/2.。因为AC=9，所以CE=DE=AC-AE=9-AE。所以有（9-AE）/AE=1/2.。即3AE=9，AE=3..。