Question

如图在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在X轴上，点C在Y轴上，角ACB=90°

如图在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在X轴上，点C在Y轴上，角ACB=90°
OA、OB的长分别是一元二次方程X²-25X+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E。求点C坐标。
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
P.S只做第三问即可，请问如何确定点N在直线DE上且为正方形顶点，求过程，谢谢

Answer 1

解：（1）在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACO=∠CBA，
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴OC2=OA•OB，
∴OC=12，
∴C（0，12）；

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，
∵OA=9，OC=12，OB=16，
∴AC=15，BC=20，
∵AD平分∠CAB，
∵DE⊥AB，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED，
∴AE=AC=15，
∴OE=AE-OA=15-9=6，BE=10，
∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，
∴△BDE∽△BAC，
∴DE AC =BE BC ，
∴DE=15 2 ，
∴D（6，15 2 ），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
∵过A（-9，0）和D点，代入得： −9k+b＝0 6k+b＝15 2 ，
k=1 2 ，b=9 2 ，
直线AD的解析式是：y=1 2 x+9 2 ；
（3）存在点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形，
理由是：①
以BC为对角线时，作BC的垂直平分线交BC于Q，交x轴于F，在直线FQ上取一点M，使∠CMB=90°，则符合此条件的点有两个，
BQ=CQ=1 2 BC=10，
∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO，
∴△BQF∽△BOC，
∴BF BC =BQ OB ，
∵BQ=10，OB=16，BC=20，
∴BF=25 2 ，
∴OF=16-25 2 =7 2 ，
即F（7 2 ，0），
∵OC=12，OB=16，Q为BC中点，
∴Q（8，6），
设直线QF的解析式是y=ax+c，
代入得： 6＝8a+c 0＝7 2 a+c ，
a=4 3 ，c=-14 3 ，
直线FQ的解析式是：y=4 3 x-14 3 ，
设M的坐标是（x，4 3 x-14 3 ），
根据CM=BM和勾股定理得：（x-0）2+（4 3 x-14 3 -12）2=（x-16）2+（4 3 x-14 3 -0）2，
x1=14，x2=2，
即M的坐标是（14，14），（2，-2）；
②
以BC为一边时，过B作BM3⊥BC，且BM3=BC=20，过M3Q⊥OB于Q，还有一点M4，CM4=BC=20，CM4⊥BC，
则∠COB=∠M3QB=∠CBM3=90°，
∴∠BCO+∠CBO=90°，∠CBO+∠M3BQ=90°，
∴∠BCO=∠M3BQ，
∵在△BCO和△M3BQ中
∠BCO＝∠QBM3 ∠COB＝∠BQM3 BC＝BM3
∴△BCO≌△M3BQ（AAS），
∴BQ=CO=12，QM3=OB=16，
OQ=16+12=28，
即M3的坐标是（28，16），
同法可求出CT=OB=16，M4T=OC=12，OT=16-12=4，
∴M4的坐标是（-12，-4），
即存在，点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（-12，-4）或（2，-2）．

追问

P.S只做第三问即可，请问如何确定点N在直线DE上且为正方形顶点，求过程，谢谢

Answer 2

矛uyuiyki