Question

数列：根号2，根号（2+根号2），根号（2+根号（2+根号2））…证明此数列是有界的，谢谢，他的极

数列：根号2，根号（2+根号2），根号（2+根号（2+根号2））…证明此数列是有界的，谢谢，他的极限是什么，写一下步骤，谢谢

Answer 1

　　

最后有个小错误，方程解错了，a=2，所以极限也是2

Answer 2

设a1=√2， a2=√(2+√2)，a3= √(2+√(2+√2))，。。。
an=√[2+a(n-1)]
用数学归纳法证明an<=2 :
n=1时，a1<=2
设a(n-1)<=2，则an=√[2+a(n-1)]<=√[2+2]=2得证

追问

他的极限怎么证明的

追答

令数列极限为a，设存在一个很大的正整数N，使得n≥N时有an=a，于是有：
a(N+1)=√(2+aN)
即a=√(2+a)
a^2-a-2=0
(a-2)(a+1)=0
a=-1(增根舍去）
得a=2

Answer 3