Question

已知抛物线y=ax^2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点c（0,4），与x轴交于A,B点，点A的坐标为（4,0）

（1）点Q,E同时从B点出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段BC向点C运动，点Q以每秒2个单位的速度沿线段BA向点A运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动，连接CQ、EQ，求△CQE最大面积。
（2）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与AC交于点F，点D的坐标为（2,0），问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；若不存在请说明理由。

Answer 1

题目：

已知抛物线y=ax^2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点c（0,4），与x轴交于A,B点，点A的坐标为（4,0）

（1）点Q,E同时从B点出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段BC向点C运动，点Q以每秒2个单位的速度沿线段BA向点A运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动，连接CQ、EQ，求△CQE最大面积。
（2）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与AC交于点F，点D的坐标为（2,0），问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；若不存在请说明理由。

先把a,c具体求出。

已知“y=ax^2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点c（0,4）”。
以x=0,y=4代入得 4=c.

“y=ax^2-2ax+c(a≠0)与x轴交于A, 点A的坐标为（4,0）"
以x=4,y=0代入得 0=16a-8a+4, a=-1/2.

所以抛物线方程为 y=-(1/2)x^2 +x + 4.
也等价于 y=-(1/2) (x-4)(x+2). 故点B的坐标为 (-2,0)

（1）答案：△CQE的最大面积为 32sqrt(5)/25.

解析：
易得线段BC的长度为 sqrt((2)^2 + (4)^2) = 2sqrt(5)
线段BA的长度为 6, 因此 2BC>BA. 故Q将先到达终点，那时BE=BQ/2=3, 时间也是=3.
在t时刻，BQ=2t, BE=t, △CQB 的面积为 (2t)(4)/2 = 4t,
△CQE的面积 = （△CQB 的面积）*（CE/CB) = (4t) * (2sqrt(5)-t) / (2sqrt(5))
将这个表达式视为 t 的二次函数，则其在对称轴处取得最大值，即 4t=2sqrt(5)-t,
解得 t = 2sqrt(5)/5 = 2/sqrt(5) 小于3, 因此可以在过程中取得。
所以△CQE的最大面积 = (4*2sqrt(5)/5) * (2sqrt(5)-2sqrt(5)/5) / (2sqrt(5))
= 32sqrt(5)/25.

（2）答案：存在唯一的可能，即l的方程为y=2时。此时 P点有两个可能性： P=(1 +sqrt(5),2) 或 P=(1 - sqrt(5),2)。

解析：逻辑上有两种可能性，(i)OD=OF 或者 (ii)OD=DF.
过D作平行于y轴的直线交AC于G, 则由SAS, 知三角形ODG全等于三角形ADG，角GOD=角GAD=45度，所以OG垂直于AC。因此OG=OD*sqrt(2)就是O到AC的最短距离, 大于OD而不大于OF, 所以可能性(i)不成立。对于可能性(ii), 假设DF=OD, 而OD=DA, 可知 DF=DA. 在直线AC上，满足DF=DA的点F只有两个： F=A 或 F=G. 当F=A时，ODF共线，不能构成三角形；F=G时，ODF构成一个等腰三角形。此时直线l的方程是y=2, 代入抛物线方程得

2=-(1/2)x^2 +x + 4.
0=-(1/2)x^2 +x + 2
0=x^2 -2x-4
x = (2 +/- sqrt(4+16))/2 = 1 +/- sqrt(5).

追问

sqrt是什么？？

追答

sqrt 是 “根号”，

比如 sqrt(5) 是 “根号5” 的意思