Question

高等数学，关于二重积分极坐标问题

Answer 1

这要靠经验了，多画图就能知道原点与D的位置关系
原点在D内的情况，通常是圆心(0，0)在原点的圆系：
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，包括标准圆
菱形系：|x| ≤ a，|y| ≤ b、|x| + |y| ≤ 1等等
圆点在D边界上的情况，通常是以x轴或y轴为切线的圆
例如x^2 + y^2 = 2ax、x^2 + y^2 = 2ay，可用对称性化简
或长方形：0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1
原点在D外的情况多为扇形、圆环、平行四边形等等
例如a ≤ x^2 + y^2 ≤ b和y = x，y = 2x
x = 1，y = 1和y = x + 1、y = x + 2
y = 1/x、y = 2/x和y = x、y = 2x等等
对于原点在D外的情况，多用变量变换的方法来化简
使D贴近原点或x轴y轴、或变为容易积分的长方形区域

积分上下限的表示是由积分区域D来决定，并非被积函数
但是应否通过变量变换来化简积分步骤，就要看被积函数了
例如曾经出过多次的∫∫ e^[(y - x)/(y + x)] dxdy，D：{x + y ≤ 1，x = 0和y = 0}
这题就好用变量变换u = y - x，v = y + x
也有积分区域D很复杂，而要通过被积函数的变量变换来化简
例如你这题∫∫ (x^2/a^2 + y^2/b^2) dxdy，D：{x² + y² ≤ R²}
可通过u = x/a、v = y/b化简，那么区域D就变为椭圆了
椭圆和标准圆之间的转换也可以通过广义极坐标法变换
x = arcosθ、y = brsinθ，dxdy = abrdrdθ，将椭圆区域变为标准圆
有些圆是关于直线y = x对称(轮换对称)
例如(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1，可通过变换u = x - 1、v = y - 1将圆心移到原点

当然，如果D具有对称性的话，就好利用了
对于x^2 + y^2 ≤ R^2，关于x轴和y轴都对称
有∫∫ x^2 dxdy = ∫∫ y^2 dxdy = (1/2)∫∫ (x^2 + y^2) dxdy
∫∫ (x^2/a^2 + y^2/b^2) dxdy
= (1/a^2)∫∫ x^2 dxdy + (1/b^2)∫∫ y^2 dxdy
= (1/a^2 + 1/b^2)∫∫ x^2 dxdy
= (1/2)(1/b^2 + 1/b^2)*∫∫ (x^2 + y^2) dxdy