Question

【线性代数】关于伴随矩阵的秩

设A,B为4阶方阵，且秩r(A)=4，r(B)=3，A和B的伴随矩阵为A"和B"，
则r(A"B")=______。

麻烦把过程写一下，谢谢。

Answer 1

要用到1个引理
显然对任何n级矩阵A, AA" = |A|I
若A可逆，|A|不为0，所以上式左右取行列式得到|A"|=|A|^(n-1)不为0
由此得到r(A)=n
若r(A)=n-1(不可逆)，则AA"=0，且A必有不为0的子式，所以r(A")>0(即>=1)
而由AA"=0又可得到r(A)+r(A")<=n(这可以用线性方程组系数矩阵与解空间的关系得到)，所以r(A")=n-r(A)>=1 综合得到r(A")=1
若r(A)<n-1，可证r(A")=0，

现在回到原题，由上述引理易知r(A")=4,r(B")=1
又由任意一个n级矩阵与一个n级可逆矩阵相乘，秩不变
所以r(A"B")=r(B")=1

Answer 2

要用到1个引理
显然对任何n级矩阵A,
AA"
=
|A|I
若A可逆，|A|不为0，所以上式左右取行列式得到|A"|=|A|^(n-1)不为0
由此得到r(A)=n
若r(A)=n-1(不可逆)，则AA"=0，且A必有不为0的子式，所以r(A")>0(即>=1)
而由AA"=0又可得到r(A)+r(A")<=n(这可以用线性方程组系数矩阵与解空间的关系得到)，所以r(A")=n-r(A)>=1
综合得到r(A")=1
若r(A)<n-1，可证r(A")=0，
现在回到原题，由上述引理易知r(A")=4,r(B")=1
又由任意一个n级矩阵与一个n级可逆矩阵相乘，秩不变
所以r(A"B")=r(B")=1

Answer 3

r(A')=4,r(B')=1，r(A'B')>=r(A')+r(B')-4=4+1-4=1
r(A'B')<=r(B')=1
综上所述，则结果为1
（上面分别是不小于和不大于的符号）