Question

设0<a<1,函数f(x)=loga(x-3)/(x+3),g(x)=1+loga(x-1),

设f(x)与g(x)定义域的交集为D,当[m,n]包含于D时,f(x)在[m,n](m<n)上的值域为[g(n),g(m)],求a的取值范围.

Answer 1

y=(x-3)/(x+3)=1-6/（x+3),（x>3），
当x单调递增时，y单调递增，f(x)单调递减，
又因为g(x)单调递减，
且存在f(x)在[m,n]上的值域为[g(n),g(m)],
即存在f(n)=g(n),
f(m)=g(m),
即f(x)与g(x)在x>3的区间上有两个交点，
由f(x)=g(x)得，
loga[(x-3)/(x+3)]=1+loga(x-1)=loga(a)+loga(x-1)=loga[a(x-1)],
所以(x-3)/(x+3)=a(x-1),
即ax^2+(2a-1)x+3-3a=0，
原题等价于h(x)=ax^2+(2a-1)x+3-3a在x>3的区间上有两个不同的零点，
所以⊿>0,对称轴x=1/(2a)-1>3,a≠0,0<a<1，
由⊿>0得a>(2+√3)/4或a<(2-√3)/4,
由x=1/(2a)-1>3得0<a<1/8,
综上得，
0<a<(2-√3)/4,
又因为a>o,
所以h（x）开口向上，
要使h(x)在x>3的区间上有两个不同的零点，
则另需条件h(3)>0,
化简得a>0,显然成立，
综上，
a的取值范围为（0，(2-√3)/4），