Question

高等数学中关于微分方程的问题

请问齐次方程和一阶线性微分方程的区别是什么，具体可以解答下这一道题

Answer 1

如果对于函数y = y(x)来说的话，四个都不对。

齐次方程就是ƒ(y，y'，y''...) = 0的形式，左边没有x项多项式，右边等于0

一阶线性方程就是方程中只能出现线性(直线)函数，没有曲线函数，并且导数最高次数是一阶

即y' + P(x)y = Q(x)，P(x)和Q(x)可以是任意的函数多项式组合

例如y = x，y = 5x + 6等，但不能有y = 1/x，y = x^2，y = e^x

①yy' = 2x^2 + 1

y' = 2x^2/y + 1/y，右边有1/y，所以是非线性

②y dx = (x + y^2) dy

1 = (x/y + y) * dy/dx，有x * 1/y项，非线性

③x dx = (x + y) dy

x = (x + y) * dy/dx，令u = x + y, du/dx = 1 + dy/dx

x = u * (du/dx - 1)

du/dx = x/u + 1，x * 1/u是非线性

④y' - xsiny = x，有曲线函数siny，非线性

一阶线性方程的例子

如y' = 5x + 7，y' = 5/x + 7依然是线性

如y' = 5y + 7，y' = 5/y + 7是非线性

如y' = 5y/x + 7，但y' = 5x/y + 7就变为非线性了

总之看到y^(n)，n ≠ 0、1的就是非线性了

如果对于函数x = x(y)来说的话，唯有B正确。

①yy' = 2x^2 + 1

y * dy/dx = 2x^2 + 1

dx/dy = y/(2x^2 + 1)，x^2是非线性

②y dx = (x + y^2) dy

dx/dy = (x + y^2)/y = x/y + y，x * 1/y是线性，所以正确

③x dx = (x + y) dy

dx/dy = (x + y)/x = 1 + y/x，y * 1/x是非线性

④y' - xsiny = x

dy/dx = x + xsiny = x * (1 + siny)

dx/dy = 1/x * 1/(1 + siny)，1/x是非线性

或者说，只有B能写成一阶线性方程x' + P(y)x = Q(y)的形式

y dx = (x + y^2) dy

x' - x/y = y

其中P(y) = - 1/y，Q(y) = y

Answer 2

齐次方程百度百科定义：http://baike.baidu.com/link?url=L8a7qzfJlmvdYWh4ODEKmhh7Mpvr4ZiXE0z2rJpoppA21Z4BI8J6olIuIglE182608DgZAEVCf2JeuoJoPDafa；
一阶线性微分方程的定义：
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。
详细解释：
一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。
线性，指的是方程的每一项关于y、y'、y"的次数相等

追问

谢谢，那我这道题怎么解？

追答

答案应该是B吧

符合定义

不符合定义

另外两项则直接看出不符合定义

追问

这块我学的有点不通，麻烦问下顶上的解答不符合定义是在哪个方面？

追答

一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。
线性，指的是方程的每一项关于y、y'、y"的次数相等

Answer 3

这中类型的题，高数课本上很多，我就说说方法，你自己算吧，设y/x=u；x+y=u，这样就可以做出来了，试试看

追问

我问的是如何判断是一阶微分方程，解法我自己会

追答

我晕，这个百度下到处是，高数上也有，一阶，二阶，高阶都有，粗略的讲，按最高导次算，如果高导次是一次就是一阶，你是大一的么？这个问题你问的让我有点意外，不说了，能理解就理解，不理解自己查吧，这个定义搞不清楚，微分方程就不要学了

追问

不好意思，打错了我想问的是什么是线性方程。
1L写的那个y,y',y''次数相等指的是什么。