Question

∫x^n*e^(-x)dx从0积到正无穷的广义积分怎么求

Answer 1

∫x^n*e^(-x)dx从0积到正无穷的广义积分求法如下：

∫ne^(-nx)dx

=-∫e^(-nx)d(-nx)

=-e^(-nx)

x→+∞

若n0

则-nx→-∞

e^(-nx)极限是0

x=0,e^(-nx)=1

所以

n0,原式=-(0-1)=1。

Stirling公式

Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德、魏尔斯特拉斯、刘维尔等等。这个函数在现代数学分析中被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。

Gamma 函数作为阶乘的推广，首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论：即当x取的数越大，Gamma 函数就越趋向于 Stirling 公式，所以当x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。

Answer 2

结果是n！概率论经常用到
伽马积分参看http://baike.baidu.com/link?url=XDLjpQNzUAW-AzUrOJ0_YkKOYuY3l01vBIuY18QY9_CCzYsd_WyAupRPyoyJ4TSA

追问

可以写一下详细的解题过程吗？我看不太懂……

追答

I(n+1)=∫(0-->+∞)x^ne^(-x)dx=-∫(0-->+∞)x^nd(e^(-x))=-x^ne^(-x)+n∫e^(-x)x^(n-1)dx
=nI(n)
这就是递推式
因为I(1)=∫(0-->+∞)e^(-x)dx=1(这可以看做是参数为1的指数分布的积分)
所以I(n+1)=n!

Answer 3

分部积分法求得