∫x^n*e^(-x)dx从0积到正无穷的广义积分怎么求

鲨鱼星小游戏
高粉答主

2021-07-20 · 最爱分享有趣的游戏日常!
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∫x^n*e^(-x)dx从0积到正无穷的广义积分求法如下:

∫ne^(-nx)dx

=-∫e^(-nx)d(-nx)

=-e^(-nx)

x→+∞

若n0

则-nx→-∞

e^(-nx)极限是0

x=0,e^(-nx)=1

所以

n0,原式=-(0-1)=1。

Stirling公式

Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究,包括高斯、勒让德、魏尔斯特拉斯、刘维尔等等。这个函数在现代数学分析中被深入研究,在概率论中也是无处不在,很多统计分布都和这个函数相关。

Gamma 函数作为阶乘的推广,首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论:即当x取的数越大,Gamma 函数就越趋向于 Stirling 公式,所以当x足够大时,可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。

perfetde
2013-12-14 · TA获得超过2215个赞
知道大有可为答主
回答量:1120
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追问
可以写一下详细的解题过程吗?我看不太懂……
追答
I(n+1)=∫(0-->+∞)x^ne^(-x)dx=-∫(0-->+∞)x^nd(e^(-x))=-x^ne^(-x)+n∫e^(-x)x^(n-1)dx
=nI(n)
这就是递推式
因为I(1)=∫(0-->+∞)e^(-x)dx=1(这可以看做是参数为1的指数分布的积分)
所以I(n+1)=n!
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热情的Achilles
2013-12-14 · 超过33用户采纳过TA的回答
知道答主
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分部积分法求得
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