Question

设随机变量X的概率密度是f(x)=e^-x,x＞0,0,其他，求Y=e^x的概率密度函数

求详解

Answer 1

F(y)=P(Y<y)=P(x^2<y)=P(-y^0.5<x<y^0.5)=Fx(y^0.5)-Fx(-y^0.5)，其中Fx(x)=1-e^-x带入即可 微分得到f(y)=(0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5))。 或者用Jacobian做。 

x=(+or-y^0.5)，|Jacobian|=|dx/dy|=1/2y^-0.5 f(y)=(0.5y^-0.5) (fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))= (0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5)) 

任意的随机变量x，y=x^2的分布都是(0.5y^-0.5)(fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))下次直接套这个公式就好，上面的证明对于一切随机变量x都适用。

扩展资料：

随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。

更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

特征函数与概率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特征函数就等同于知道一个分布的概率密度函数。

参考资料来源：百度百科——概率密度函数

Answer 2

F(y)=P(Y<y)=P(x^2<y)=P(-y^0.5<x<y^0.5)=Fx(y^0.5)-Fx(-y^0.5)，其中Fx(x)=1-e^-x带入即可 微分得到f(y)=(0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5))。 或者用Jacobian做。 

x=(+or-y^0.5)，|Jacobian|=|dx/dy|=1/2y^-0.5 f(y)=(0.5y^-0.5) (fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))= (0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5)) 

任意的随机变量x，y=x^2的分布都是(0.5y^-0.5)(fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))下次直接套这个公式就好，上面的证明对于一切随机变量x都适用。

扩展资料：

设随机变量X具有概率密度fX(x)，-∞<x<∞，由设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0（或恒有g'(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量。

把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。

Answer 3

Y =e^X,所以X=lnY,|dX/dY|=1/Y,x>0,所以ln y>0,y>1,
所以f(y)=e^-(ln y) *1/y, y>1

Answer 4

F(y)=P(Y,=y)=P(e^x<=y)=P(x<=Lny)=Fx(Lny)=1-e^(-Lny)=1-1/y
f(y)=dF(y)/dy=1/y^2(1<y<∞）

追问

那y的值域是什么呢，谢啦

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额，不小心点多了

追答

(1<y<∞）

Answer 5

F(x)=∫（下限0,上限+∞）f(x)dx,x>0 0,其他这鞋的好纠结，能看懂吗？会积分吗？不会再说下。