Question

若a²+b²+c²=2√3absinC，则△ABC的形状是

Answer 1

由余弦定理可得
a²+b²-c²=2abcosC
相加得到
2(a²+b²)=2ab(√3sinC+cosC)
=4absin(C+30°)
≤4ab
∴2(a-b)²≤0
∴(a-b)²=0
∴a=b
上面的等号当
C+30°=90°
即C=60°时成立
所以，三角形是等边三角形。

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Answer 2

c2=a2+b2-2abcosC
2√3absinC=a2+b2+c2
则,2√3absinC+2abcosC=2(a2+b2)
即√3absinC+abcosC=a2+b2
得2sinC+30)=a2+b2
所以(a-b)^2=2ab[sin(C+30)-1]
因为(a-b)^2>=0,sin(C+30)-1<=0,则sin(C+30)-1=0
C+30=90 C=60,(a-b)^2=0,a=b
△ABC的形状为等边△