Question

求证这两道题!

Answer 1

对任意正整数k, ker(σ^k)都是V的子空间, 且ker(σ^k) ⊆ ker(σ^(k+1)).
可知dim(ker(σ^k)) ≤ dim(ker(σ^(k+1))).
假设成立dim(ker(σ^k)) = dim(ker(σ^(k+1))), 则有ker(σ^k) = ker(σ^(k+1)).
此时v ∈ ker(σ^(k+2))等价于σ(v) ∈ ker(σ^(k+1)) = ker(σ^k),
等价于v ∈ ker(σ^(k+1)), 即有ker(σ^(k+2)) = ker(σ^(k+1)) = ker(σ^k).
进而ker(σ^m) = ker(σ^k)对任意m > k成立.

记d = dim(V).
1) 由ker(σ^(d-1)) ≠ ker(σ^d), 根据上述分析, 对任意k < d, 有dim(ker(σ^k)) < dim(ker(σ^(k+1))).
有0 < dim(ker(σ)) <...< dim(ker(σ^(d-1))) < dim(ker(σ^d)) ≤ d, 又各维数都是整数,
可得dim(ker(σ^k)) = k, 对k = 0, 1, 2,..., d成立.
特别的dim(ker(σ^d)) = d即ker(σ^d) = V, 也即σ^d = 0, 故σ幂零.

2) 类似上面有0 < dim(ker(σ)) <...< dim(ker(σ^(d-1))) ≤ d.
因为维数都是整数, 有dim(ker(σ^(d-1))) ≥ d-1.
由线性方程组解空间维数公式, dim(ker(σ^(d-1))) = d-dim(im(σ^(d-1))), 得dim(im(σ^(d-1))) ≤ 1.
假设λ ≠ 0是σ的特征值, v是属于λ的特征向量.
则σ^(d-1)(v) = λ^(d-1)·v, 是im(σ^(d-1))中的非零向量.
而dim(im(σ^(d-1))) ≤ 1, 故σ至多有一个非零特征值, 从而至多有两个不同特征值.