Question

设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且f`(x)g(x)-f(x)g`(x)<0,则当a<x<b时,有()

设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0.则当a<x<b时，有（）
A.f(x)g(x)>f(a)g(a)
B.f(x)g(x)>f(b)g(b)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
D.f(x)g(a)>f(a)g(a)

Answer 1

f`(x)g(x)-f(x)g`(x)<0
则[f`(x)g(x)-f(x)g`(x)]/g²(x)<0
[f(x)/g(x)]'<0
f(x)/g(x)为增函数
即f(a)/g(a)<f(x)/g(x)<f(b)/g(b)
又因为g(x)恒大于零，
将上式变形，D选项f(x)g(a)>f(a)g(x)成立。
AB项大小无法比较，C项符号反了。

Answer 2

构造新函数h(x)=f(x)/g(x)
h'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)<0
故h(b)<h(x)<h(a)
C 正确