Question

已知向量α (sinxθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2)（1）若a与b是共线向量,求tan

θ（2）若|a|=|b|，0＜θ＜π ，求θ的值？

Answer 1

1.有公式：a（x1，y1）//b（x2，y2） 则 x1*y2-x2*y1=0
所以 代入公式 可得4sinθ=cosθ ，tanθ=sinθ/cosθ=1/4

2 |a|=√[(sin^θ)+(cosθ-2sinθ)^]=√(sin^θ+cos^θ-4sinθcosθ+4sin^θ)
=√[1-2(2sinθcosθ)+2(2sin^θ)]=√[1-2sin2θ+2(1-cos2θ)]
=√[-2(sin2θ+cos2θ)+3]=√[-2*√2sin(2θ+π/4)+3]

|b|=√(1^+2^)=√5

而|a|=|b|
<=> -2√2sin(2θ+π/4)+3=5
<=>sin(2θ+π/4)=-√2/2

根据基本正弦函数y=sinx的性质，将2θ+π/4当成一个整体变量考虑，可得到：
2θ+π/4=-π/4 +2kπ 或 -3π/4 +2kπ 其中k为整数
(在一个最小正周期[-2π,0]中，sin值等于
-√2/2的自变量共有两个，一个是-π/4,另一个是-3π/4，再将它们推广至整个实数范围，得到如上的形式)

<=>θ=-π/4 +kπ 或 -π/2 +kπ ①

题目已知：0<θ<π
即0<-π/4 +kπ<π
或0<-π/2 +kπ<π
<=>1/4<k<5/4
或1/2<k<3/2
鉴于k是整数，∴两个不等式都只能选取k=1，分别代入①中的两个式子中，可得：
θ=3π/4或π/2