Question

三棱锥P-ABC 中AB垂直于BC,AB=BC=1\2PA,点O,D分别为AC,PC中点,,OP垂直于底面ABC,求证OD平形于平面PAB

RT

Answer 1

1、∵OD是三角形APC的中位线，OD‖AP，
∵AP∈平面APB
∴OD‖平面APB。
2、AB=BC，设AB=1个单位，BC=1，AP=2，
〈ABC=90度，△ABC是等RT△，
OD=AP/2=1，S△OBC=S△ABC=1/2，
OP⊥底面ABC，OP⊥AC，AO=OC=OB=√2/2，
OP=√（AP^2-AO^2)=√14/2,
BP=√（OP^2+OB^2)=2,PC=√（OP^2+OC^2)=2
VP-BCO=S△OBC*OP/3
=(1/4)*(√14/2)/3=√14/24,
PC=PB=2，三角形PBC是等腰三角形，作PF⊥BC，
PF=√（PB^2-BC^2/4）=√15/2，
VO-PBC=VP-BCO
=S△PBC*d/3,//d是点O至平面PBC的距离，
=（√15/2）*（1/2）*d/3
=√15d/12,
√14/24=√15d/12,
d=√210/30,
从O向平面PBC作垂线OH，垂足H，连结DH，
〈ODH为OD与平面PBC的成角，
sin<ODH=d/OD=√210/30/1
=√210/30.
<ODH=arcsin(√210/30).
直线OD与平面PBC所成角arcsin(√210/30).