Question

△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c ,tanc=(sinA+sinB)/(cosA+cosB),sin(B-A)=cosC,

△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c ,tanc=(sinA+sinB)/(cosA+cosB),sin(B-A)=cosC ，问（1）求A,C (2) 若S△ABC=3+根号3，求a,c 急急急

Answer 1

（1）
tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=sinC/cosC
=>sin(A-C)+sin(B-C)=0
=>2sin[(A+B-2C)/2]cos[(A-B)/2]=0
=>cos(3C/2) cos[(A-B)/2]=0
因为A,B,C为△ABC中三个角，因此A-B≠±kπ，（k∈Z）
所以C=60
所以sin(B-A)=cosC=0.5，所以B-A必然为30
则可以得出A=45,B=75
（2）

过B作BH垂直AC于H,设AH=b1，CH=b2，BH=h
由（1），b1=(√2/2 )*c,b2=a/2,h=(√3/2)*a，所以b=b1+b2
S=0.5*b*h=(√6 * ac + √3 * a^2) /8=3+√3 ①
sinA/sinC=a/c=√2/√3，所以a=（√2/√3）*c ②
由①②解得：a=2√2，c=2√3
解：因为tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)，
所以左边切化弦对角相乘得到
sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,
所以sin(C-A)=sin(B-C).
所以C-A=B-C或C-A=派-（B-C）（不成立）
即2C=A+B，C=60度，
所以A+B=120度，
又因为sin(B-A)=cosC=1/2，
所以B-A=30度或B-A=150度（舍），
所以A=45度。
所以A=45度，C=60度。
2.三角形面积=1/2*ac*sinB=（根号6+根号2）/8*ac=3+根号3，
又a/sinA=c/sinC,
所以a=2倍根号2，c=2倍根号3.

Answer 2

由tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)可得sinC/cosC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)，展开可知sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，合并可得sin(C-A)=sin(B-C)，可得C-A=B-C，或者(C-A)+(B-C)=180(不符)，所以2C=A+B=180-C,从而C=60...又sin(B-A)=cosC,所以B-A=30.结合A+B=120.可得A=45.综上，A=45.C=60

Answer 3

A45'
B90'
C45'