Question

求大神解答:lim(x趋于∞)(2x+sinx)/(3x-sinx)

我现在对于这个题目有两个疑问

一种解释是 ： x→∞时，sinx是有界的有限项，所以可以忽略，答案就是2/3
还有一种是：当x→∞时，sinx极限不存在，所以这个题没极限

请大神详细解答，好的加分
我提高了100分悬赏 特别想搞清楚这个问题 希望各位大神能解答。

我还想继续问两个问题，
lim(x→∞)(3x-sinx)/(x+sinx)的答案是3吗？ 解释是不是：有限项可以忽略？

lim(x→∞)(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2))这道题答案是什么？
我的做法是：用特殊极限来做，答案是e^3
但是wolfram上的答案给的是∞ 我很困惑

Answer 1

从sinX的图像可以看出来他是有界的【-1，1】之间，当X趋于无穷时 sinX可以忽略的原式就可以化简为2X/3X了 所以极限为2/3

追问

lim(x→∞)(3x-sinx)/(x+sinx)的答案是3吗？ 解释是不是：有限项可以忽略？

lim(x→∞)(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2))这道题答案是什么？
我的做法是：用特殊极限来做，答案是e^3
但是wolfram上的答案给的是∞ 我很困惑

追答

第一个是3 第二个是幂函数 下面大于1 从图像上看 随指数增大而增大所依是0到无穷

追问

你的意思是

第二题 因为(1+2/(2+sinx))是大于1的，所以不能用(1+(1/x))^x=e这个特殊极限来做？
所以答案是∞？

这个∞的答案是怎么来的？

追答

是的 你括号里化简的不对1+2/（2+sinX）是有限函数 不是1+1/X

追问

哦！

lim(x→∞)(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2))这道题答案是∞吗？
这个答案怎么来的？

追答

应该分情况的 X趋于负无穷时 极限是0 X趋于正无穷时 极限是正无穷

追问

那我一开始就判断：对于(1+2/(2+sinx))中，sinx有界函数也可以忽略，那么括号里面大于1，
同理可以得到 对于指数 （3x-sinx）/2 也是→∞

那么答案不就是∞了？ 为何还要分+∞ 和-∞?

追答

指数函数在底数大于1时是单调递增的 对吧 在X趋于正无穷时 极限是无穷 但是当X趋于负无穷时极限是0的 因为它无线趋近于X轴 所以答案不是无穷

Answer 2

答：
1）sinx是有界函数，-1<=sinx<=1
x趋于∞时，sinx可以忽略
所以：
lim(x→∞) (2x+sinx)/(3x-sinx)
=lim(x→∞) 2x/(3x)
=2/3

2）
lim(x→∞) (3x-sinx)/(x+sinx)
=lim(x→∞) 3x/x
=3
理由同1）
3）
-1<=sinx<=1，1<=2+sinx<=3
1/3<=1/(2+sinx)<=1
所以：2/3<=2/(2+sinx)<=2
所以：5/3<=1+2/(2+sinx)<=3
因为：(3x-sinx)/2趋于无穷
所以：大于1的正无穷次方的值是正无穷大，负无穷次方趋于0
所以：
lim(x→+∞)(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2))=+∞
lim(x→-∞)(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2))=0

追问

第（3）中
(3x-sinx)/2趋于无穷

理由是不是因为x→∞，所以3x→∞，而sinx同样可以忽略？所以整个就→∞？

追答

对的

第三题答案仅说是无穷是不准确的，应该分正无穷和负无穷讨论极限。
正负无穷时极限不相同，因此准确的说第3题x趋于无穷时极限不存在

追问

照你这么说
那么对于lim(x→∞)(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2)这个题目

那我一开始就判断：对于(1+2/(2+sinx))中，sinx有界函数也可以忽略，那么括号里面大于1，
同理可以得到 对于指数 （3x-sinx）/2 也是→∞

那么答案不就是∞了？ 为何还要用夹逼性来做？

追答

1+2/(2+sinx)大于1是恒成立的，我已经证明了其取值范围是[5/3,3]了。

但是，无穷∞可能是趋于+∞（正无穷），也可能是趋于-∞（负无穷）。

这两个无穷的时候，极限的值不相同的，前者是无穷大，后者是0。
所以：第3题的极限不存在

追问

当x→负无穷的时候，就是（）^（（3x-sinx）/2））=（）^（-∞）=0？

追答

对的....因为底数是大于1的

Answer 3

解： 2x+sinx 2x 2
lim--------------------=lim---------------= ---------
x→∞ 3x-sinx x→∞ 3x 3

因为: sinx∈[-1，1]
lim2x=∞ lin3x=∞
x→∞ x→∞
lim(2x+sinx)=lim2x
x→∞ x→∞
lin(3x-sin)=lim3x
x→∞ x→∞

该题是x→∞，sinx可以忽略
如果x→0，2x，3x可以忽略，极限-1，注意区别在于x→∞或x→0

追问

lim(x→∞)(3x-sinx)/(x+sinx)的答案是3吗？ 解释是不是：有限项可以忽略？

lim(x→∞)(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2))这道题答案是什么？
我的做法是：用特殊极限来做，答案是e^3
但是wolfram上的答案给的是∞ 我很困惑

追答

解：
lim(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2))=∞
x→∞
因为：
2/(2+sinx) ∈[2/3，2]
1+2/(2+sinx)∈[5/3，3] 大于1
lim (3x-sinx)/2=∞
x→∞
a^x 当a>1时 x→∞，其值为无穷大

不知你是否理解？

Answer 4

前一种正确。
本题是求解x->∞时(2x+sinx)/(3x-sinx)的极限，而不是sinx的极限。
前者有无极限与后者无关，
举一个例子，
x->∞时，x极限不存在，x²极限不存在，
但x/x²极限为0

追问

谢谢大神。

我还想继续问一下，

1. lim(x→∞)(3x-sinx)/(x+sinx)的答案是3吗？ 解释是不是：有限项可以忽略？

2. lim(x→∞)(1+2/(2+sinx))^((3x-sinx)/2))这道题答案是什么？

     我的做法是：用特殊极限来做，答案是e^3 

   但是wolfram上的答案给的是∞ 我很困惑

追答

是的。就像求解x->∞时(3x+1)/(2x-6)一样，有界的项忽略。 

 

你是不是把方程输入错了？底数是1+2/(2x+sinx)

用特殊极限来做，答案是e^（3/2）