Question

已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2根号15,且经过点M(4,1)直线l:x-y+m=0交椭圆于不同的两点

A,B.求m的取值范围

Answer 1

c=√15，∴a^2=b^2+15,
设椭圆方程为x^2/(b^2+15)+y^2/b^2=1(b>0),
它过点M(4，1),
∴16/(b^2+15)+1/b^2=1,
16b^2+b^2+15=b^4+15b^2,
整理得b^4-2b^2-15=0,b>0,
∴b^2=5,
∴椭圆方程是x^2/20+y^2/5=1.①
把y=x+m②代入①，x^2+4(x^2+2mx+m^2)=20,
整理得5x^2+8mx+4m^2-20=0,
①与②交于不同的两点，
∴△/16=4m^2-5(m^2-5)=25-m^2>0,
∴m^2<25,
∴-5<m<5,为所求.

追问

太棒了，我做题时一直遇到一个问题就是如何解b^4-2b^2-15=0这一步
还有∴△/16=4m^2-5(m^2-5)=25-m^2>0,怎么出来的

追答

5x^2+8mx+4m^2-20=0,
①与②交于不同的两点，
∴△/16=4m^2-5(m^2-5)=25-m^2>0,

Answer 2

首先求出椭圆的表达式a^2 = 20,b^2 = 5.直线l是一族平行的直线只需要找到椭圆与直线切点即可，椭圆 与 y = x + m 联立相切时两根相等，使用B^2-4AC=0得到m=正负5， 所以m的范围是（-5，,5）