Question

在三角形ABC中,已知向量 AB·AC=3BA·BC (1)求证:tanB=3tanA (2)若

在三角形ABC中,已知向量 AB·AC=3BA·BC
(1)求证:tanB=3tanA
(2)若 cosC=√5/5，求A的值

Answer 1

（1）因为向量AB*向量AC=3*向量BA*向量BC
所以c*b*cosA=3*c*a*cosB
b*cosA=3*a*cosB
sinBcosA=3sinAcosB
(sinBcosA)/(3sinAcosB)=1
tanA/tanB=3
所以tanB=3tanA
（2）cosC=sqrt5 /5（aqrt指根号）
sinC=2sqrt5 /5
tanC=sinC/cosC=2
tan(A+B)=tan(pi-C)=-tanC=-2
又∵tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=4tanA/(1-3tan²A)
令tanA=x，
则有4x/(1-3x²)=-2
3x²-2x-1=0
解得x1=1,x2=-1/3
∴tanA=1，或tanA=-1/3（tanA为负值应排除）
∴A=45度