Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率e:根号下2/2，左、右焦点分别为……

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率e:根号下2/2，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，根号下3）满足：F2在线段PF1的中垂线上

Answer 1

解：椭圆的方程为x2 /a2+ y2 /b2 = 1，（a > b > 0），离心率e = c/a = √2/2，即a = (√2)c ；
椭圆的左，右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，而点P(2，√3)，线段PF1的中点M为（(2 – c)/2，√3/2），由已知，点F2在线段PF1的中垂线上，说明向量F2M⊥向量PF1=> 向量F2M·PF1= 0 =>（(2 – 3c)/2，√3/2）·（-c – 2，-√3）= 0 => (3c– 2)(c + 2)/2 – 3/2 = 0 => (3c – 2)(c + 2) = 3 => 3c2 + 4c – 7= 0 => (c – 1)(3c + 7) = 0 => c – 1 = 0或者3c + 7 = 0 => c = 1或者-7/3（舍去），进而a = √2，b2= a2 – c2 = 1，所以所求的椭圆的方程为x2 /2 + y2 = 1 。