Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BD，D为BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥A

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BD，D为BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F，求证：AB垂直平分DF

Answer 1

证 明：连接 DF，

∵∠BCE+∠ACE=90°， ∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠BCE=∠CAE． ∵AC⊥BC，BF∥AC． ∴BF⊥BC． ∴∠ACD=∠CBF=90°， ∵AC=CB， ∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．

∵CD=BD= 1 2 BC，∴BF=BD．

∴△BFD为等腰直角三角形． ∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴∠ABC=45°． ∵∠FBD=90°， ∴∠ABF=45°． ∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分 线． ∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中 线， 即AB垂直平分DF．