Question

在下真诚提问 凡解出本题者 一定采纳！100财富值悬赏！！！感谢各位帮忙！！！

加大悬赏力度 200财富值！！！望知道证明的大神赐教！！在下不胜感激！！！

Answer 1

追问

老师 补充一下：排序不等式并没有要求是两组正数 只要求是两组实数即可 嘿嘿:Oo(∩_∩)o

所以把附注里面的“正数”改为“实数”更好“(=^ω^=)”

Answer 2

当n=1时，左=a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)，右=3/2
由柯西不等式知[(a+b)+(b+c)+(a+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]≥3²=9
化简得a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥3/2，得证
当n≥2时，右=(2S)^(n-1)/[2*3^(n-2)]
记k=n-1≥1，不妨设a≥b≥c，那么a^(k-1)≥b^(k-1)≥c^(k-1)
由排序不等式知a^k+b^k+c^k≥a^(k-1)b+b^(k-1)c+c^(k-1)a
a^k+b^k+c^k≥a^(k-1)c+b^(k-1)a+c^(k-1)b
即2(a^k+b^k+c^k)≥a^(k-1)(b+c)+b^(k-1)(c+a)+c^(k-1)(a+b)
则(a^k+b^k+c^k)/[a^(k-1)(b+c)+b^(k-1)(c+a)+c^(k-1)(a+b)]≥1/2
两边同乘(a^k+b^k+c^k)，即
(a^k+b^k+c^k)²/[a^(k-1)(b+c)+b^(k-1)(c+a)+c^(k-1)(a+b)]≥(a^k+b^k+c^k)/2
由柯西不等式可得
[a^(k-1)(b+c)+b^(k-1)(c+a)+c^(k-1)(a+b)][a^(k+1)/(b+c)+b^(k+1)/(c+a)+c^(k+1)/(a+b)]≥(a^k+b^k+c^k)²
即a^(k+1)/(b+c)+b^(k+1)/(c+a)+c^(k+1)/(a+b)≥(a^k+b^k+c^k)²/[a^(k-1)(b+c)+b^(k-1)(c+a)+c^(k-1)(a+b)]
所以a^(k+1)/(b+c)+b^(k+1)/(c+a)+c^(k+1)/(a+b)≥(a^k+b^k+c^k)/2
即a^n/(b+c)+b^n/(c+a)+c^n/(a+b)≥[a^(n-1)+b^(n-1)+c^(n-1)]/2
由均值不等式知a^(n-1)+b^(n-1)+c^(n-1)≥3[(a+b+c)/3]^(n-1)=(2S)^(n-1)/3^(n-2)
∴a^n/(b+c)+b^n/(c+a)+c^n/(a+b)≥(2S)^(n-1)/[2*3^(n-2)]

追问

你好 非常感谢你为我解答 不过你能用编辑公式的形式写出来吗？这样看太混乱了 谢谢！

追答

不会用唉……

追问

wps里面插入公式