Question

（2013•四川）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA

（2013•四川）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点． （I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1； （II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A-A1M-N的余弦值．

Answer 1

(1)在平面ABC内，过点P作直线l∥BC
∵直线l⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，
∴直线l∥平面A1BC，
∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l
∵AA1⊥平面ABC，l⊂平面ABC
∴AA1⊥l
∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD1A1

(2)连接A1P，过点A作AE ⊥ A1P于E，过E点作EF ⊥ A1M于F，连接AF
由（1）知MN ⊥ 平面A1AE，结合MN ⊂ 平面A1MN得平面A1MN ⊥ 平面A1AE，
∵平面A1MN ∩ 平面A1AE=A1P，AE ⊥ A1P
∴AE⊥平面A1MN
∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影
∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A-A1M-N的平面角
设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点
∴M是AB的中点，得AP=1/2 ，AM=1
Rt△A1AP中，A1P=根号（AP^2+AA1^2）
Rt△A1AM中，A1M=根号2

∴AE=AP•AA1/A1P = 根号5/5 AF=AM•AA1/A1M=根号2/2
∴Rt△AEF中，sin∠AFE = AE/AF = 根号10/5
cos∠AFE=根号（1−sin^2∠AFE）=根号15/5

即二面角A-A1M-N的余弦值等于 根号15/5