(2013•四川)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA
(2013•四川)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中...
(2013•四川)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点. (I)在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1; (II)设(I)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值.
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(1)在平面ABC内,过点P作直线l∥BC
∵直线l⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,
∴直线l∥平面A1BC,
∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,结合l∥BC得AD⊥l
∵AA1⊥平面ABC,l⊂平面ABC
∴AA1⊥l
∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD1A1
(2)连接A1P,过点A作AE ⊥ A1P于E,过E点作EF ⊥ A1M于F,连接AF
由(1)知MN ⊥ 平面A1AE,结合MN ⊂ 平面A1MN得平面A1MN ⊥ 平面A1AE,
∵平面A1MN ∩ 平面A1AE=A1P,AE ⊥ A1P
∴AE⊥平面A1MN
∵EF⊥A1M,EF是AF在平面A1MN内的射影
∴AF⊥A1M,可得∠AFE就是二面角A-A1M-N的平面角
设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,可得∠BAD=60°,AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点
∴M是AB的中点,得AP=1/2 ,AM=1
Rt△A1AP中,A1P=根号(AP^2+AA1^2)
Rt△A1AM中,A1M=根号2
∴AE=AP•AA1/A1P = 根号5/5 AF=AM•AA1/A1M=根号2/2
∴Rt△AEF中,sin∠AFE = AE/AF = 根号10/5
cos∠AFE=根号(1−sin^2∠AFE)=根号15/5
即二面角A-A1M-N的余弦值等于 根号15/5
∵直线l⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,
∴直线l∥平面A1BC,
∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,结合l∥BC得AD⊥l
∵AA1⊥平面ABC,l⊂平面ABC
∴AA1⊥l
∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD1A1
(2)连接A1P,过点A作AE ⊥ A1P于E,过E点作EF ⊥ A1M于F,连接AF
由(1)知MN ⊥ 平面A1AE,结合MN ⊂ 平面A1MN得平面A1MN ⊥ 平面A1AE,
∵平面A1MN ∩ 平面A1AE=A1P,AE ⊥ A1P
∴AE⊥平面A1MN
∵EF⊥A1M,EF是AF在平面A1MN内的射影
∴AF⊥A1M,可得∠AFE就是二面角A-A1M-N的平面角
设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,可得∠BAD=60°,AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点
∴M是AB的中点,得AP=1/2 ,AM=1
Rt△A1AP中,A1P=根号(AP^2+AA1^2)
Rt△A1AM中,A1M=根号2
∴AE=AP•AA1/A1P = 根号5/5 AF=AM•AA1/A1M=根号2/2
∴Rt△AEF中,sin∠AFE = AE/AF = 根号10/5
cos∠AFE=根号(1−sin^2∠AFE)=根号15/5
即二面角A-A1M-N的余弦值等于 根号15/5
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