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高数求极限问题

Answer 1

科技信息
高校理科研究
《高等数学》中“求极限”问题分析
紫琅职业技术学院
杨琦
［摘要］本文通过对江苏省专转本《高等数学》考试中极限类型问题的分析，总结了求极限的基本类型及相应的处理方法。
［关键词］极限专转本《高等数学》0.引言
江苏省专转本《岁樱汪高等数学》考试中求极限的题目是必考的。我比较了近６年的《高等数学》专转本考试中求极限的题目，觉得只要弄清楚１∞这三种基本类型极限的求法，考试中极限的题目就不难解了０∞，决了。下面具体谈一谈极限基本类型及其处理的方法。
1.极限问题（１）“０”型
０
所谓“０”型是指分子、分母极限都为零的类型，因为分母极限为
零，就不能使用极限四则法则中除法法则了，为了能够使用除法法则，关键是让分母极限不为零，方法有：
１）约去分母中的趋零因式，具体操作方法有：①因式分解，②根式有理化，③等价无穷小的替换。
２）使用罗必达法则。
２
ｉｍａｘ－ｘ－３＝ｂ，求ａ，ｂ例１（０５年）：已知ｌｘ→－１ｘ
ｉｍｅ－ｘ－１例５（０７年）求极限ｌ
ｘ→００型，解：分母中，当ｘ→０时，ｔａｎｘ与ｘ是等价无穷小，则：
ｘｘ
ｌｉｍｅ－ｘ－１＝ｌｉｍｅ－ｘ－１然后还是０型，则使用罗必达法则：ｘ→０ｘｔａｎｘｘ→０ｘ２０ｘｘｘ
ｉｍｅ－１＝ｌｉｍｅ＝１ｌｉｍｅ－ｘ－１＝ｌ
ｘ→０ｘ→０ｘ→０注：连续使用了两次罗必达法则。
ｘ３
ｉｍ例６（０９年）求极限ｌ
ｘ→０解：分析题目类型是０型，但是第一步不能用等价无穷小替换当ｘ→０，ｓｉｎｘ￣ｘ。因为这里是加减法，只有ｓｉｎｘ作为整个式子的一个因式才可以等价无穷小替换，该题考虑使用罗必达法则。
３２ｘｌｉｍｉｍ３ｘ＝ｌｉｍ６ｘ＝ｌｉｍ６＝６＝ｌｘ→０ｘ→０ｘ→０ｘ→０注：连续使用了三次罗必达法颂败则。（２）“∞”型
所谓“∞”型是指分子、分母都趋向于无穷大的类型，因为分母极
∞限不存在，所以不能使用除法法则，为了能够使用除法法则，要让分母极限存在，使用的方法是１：同除以分母的最高次幂，若不能使用则使用但是间接出现２：罗必达法则。虽然这种类型专转本中没有直接出现，
４＋２ｘ
ｌｉｍ３＋ｘ）了，如：该幂指函数的底的极限为：x→∞３＋１
３＋ｘｉｍｌｉｍ＝ｌ＝１，使用了第一种方法。x→∞２＋ｘx→∞２
＋１（３）“１∞”型所谓“１∞”型是专门针对幂指函数的，底的极限为１，而指数趋向于
解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限ｉｍ（也必须是零，即就是０型。ｌａｘ２－ｘ－３）＝０，则ａ＝２。
ｘ→－１然后用因式分解的方法求该极限值ｂ：
２
ｘ＋１）（２ｘ－３）＝ｌｌｉｍａｘ－ｘ－３＝ｌｉｍ（ｉｍ（２ｘ－３）＝－５则ｂ＝－５
ｘ→－１ｘ→－１ｘ→－１２
ｉｍｘ＋ａｘ＋ｂ＝３，例２（０９年）：已知乎仔ｌ求ａ，ｂｘ→２解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限ｉｍ（也必须为零，即也是０型。ｌｘ２＋ａｘ＋ｂ）＝４＋２ｘ＋ｂ＝０∴２ａ＋ｂ＝－４
ｘ→２然后对该题目使用罗必达法则求极限：
２
ｌｉｍｘ＋ａｘ＋ｂ＝ｌｉｍ２ｘ＋ａ＝４＋ａ＝３∴ａ＝－１∴ｂ＝－２ｘ→２ｘ→２ｉｍ－１例３（０６年）：求极限ｌ
ｘ→１
姨－１０型，解：因为题目含有根式，可是使用根式有理化的方法：
（＋＋１）（＋１）＝２ｌｉｍ（－１）法一：ｘ→１
（姨－１）（姨＋１）（姨＋姨＋１）该题目是０型，也可以考虑使用等价无穷小的替换：
ｔ
－１－１ｉｍｉｍｉｍ法二：令ｘ－１＝ｔ则ｌ＝ｌ＝ｌ＝２ｘ→１
－１ｔ→０姨－１ｔ→０姨２
３
３
３
３
３
３
３
ｉｍ（无穷大的类型。使用的方法是１：

使用公式ｌ１＋若不能使用则使
→０
用２：对该函数先取以ｅ为底对数，再取以ｅ为底指数，然后化为前面的基本类型来做。
３ｘ
ｉｍ（ｘ－２）例７（０８年）求极限ｌx→∞ｉｍ（解：首先分析题目类型是１型，则使用公式ｌ１＋然后来
∞
→０
找公式中的。
３ｘ
ｌｉｍｘ－２）ｉｍ［］＝ｌ１＋（－２）＝ｅ－６x→∞x→∞注：其中（－２）是公式中的。
ｘ
ｉｍ（ｘ＋１）例８（１０年）求极限ｌ
x→∞（－ｘ）×（－６）
（２ｘ）＝２则ｌｉｍｆｉｍｘｆ例４（０７年）已知ｌ１）＝
ｘ→０x→∞。
解：首先分析题目类型，分母极限为零，函数极限要存在，分子极限（２ｘ）＝１∴当ｘ→０，ｉｍｆ也为零，则当ｘ→０，ｆ（２ｘ）是无穷小，∵ｌｆ（２ｘ）与２ｘ
ｘ→０是等价无穷小，即
ｆ（２ｘ）￣２ｘ，令２ｘ＝ｕ，当ｕ→０，ｆ（ｕ）￣ｕ，∴ｘ→∞，ｆ１）￣１
ｉｍｘ１＝１∴ｌ
x→∞ｉｍ（解：首先分析题目类型是１型，则使用公式ｌ１＋然后来
∞
→ｅ
找公式中的。
（下转第１２４页）
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